Здесь введены обозначения X= kpr, V = ktr . Граничные условия заключаются в

отсутствии напряжений на боковой поверхности, т.е. Tn=Tnj=0 при r=a. Из

уравнений (5) и (6) при этом следует однородная система линейных уравнений

относительно амплитуд A и B. Существование нетривиального решения приводит к

равенству нулю соответствующего определителя:

Г_о_ , \\1

L1 -о

J m (F,

J m (Fp j^-[2Jm(F) +Jm(F)

+

+ 2m2

Jm(Fp )Jm(F,

Fp

Fp

J m(F) J m (F)

F

F2

(8)

где F = kta , Fp = k a = F• -о)/2 , a - радиус диска, а о - коэффициент

Пуассона. Отметим, что с использованием реккурентных соотношений для функций Бесселя это уравнение можно свести к виду, приведенному в работе [6]. С учетом (8) коэффициенты А и В оказываются связанными:

J m (X) J m (X)

B

— = m •

A

X2

(9)

2J m(q) + Jm (V

Величина B/A показывает относительный вклад сдвиговых деформаций в колебательное движение диска. Как видно, A и B можно считать чисто действительными величинами. При В/A \ < 1 колебание является преимущественно продольным, при B/A > 1, напротив, преобладают сдвиги. Для расчета картины смещений и напряжений в диске следует перейти к действительным Tr(p , Trr , Тфф , ur и Uj , рассматривая действительную часть соотношений (3)-(7). Соответствующие выражения получаются из (3)-(7) заменой exp(/m(p)®cos(mj), exp(zmj)® /•sin(mj). Отметим, что компоненты тензора деформаций Tr(p и Tjj зависят от угла по-разному: Tj~ sin(mj), Tjj~ cos(mj). Это, в частности, означает, что при любом радиальном разрезе диска (при вырезании сектора) никакая мода не сохранится, т.к. не будут удовлетворяться одновременно граничные условия на разрезе Tr(p=0 и Tjj=0. Этим рассматриваемые моды колебаний диска отличаются от хорошо известных мод колебаний упругой мембраны.

Уравнение (8) является условием, связывающим безразмерные резонансные частоты F=kta всех возможных симметричных колебаний тонкого диска, причем коэффициент Пуассона о выступает в качестве параметра этого уравнения. Для каждого углового индекса m имеется бесконечное количество корней F . Введем

индекс n, равный порядковому номеру корня при увеличении частоты. Тогда уравнение (8) задает резонансные значения безразмерной частоты kta как функции коэффициента Пуассона о для различных мод (m,n). На рис.1 приведены результаты численного расчета всех указанных зависимостей в диапазоне 0 £ kta £ 8 . Как видно, существует большое количество мод колебаний, частоты которых являются неубывающими функциями коэффициента Пуассона. Наинизшая частота, соответствующая моде (m,n)=(2,1), практически не зависит от коэффициента Пуассона: для нее kta растет от значения 2.336... при о=0 до 2.349... при о=0.5, т.е. общее изменение не превышает 0.6 %. Среди остальных мод имеются как чувствительные к коэффициенту Пуассона, так и слабо зависящие от него. Эта особенность может быть объяснена относительной долей продольных деформаций в процессе колебаний диска. Это видно из таблицы 1, где приведены результаты расчетов kta и соответствующих значений B/A (см.(9)). Отметим, что в общем случае моды представляют собой связанные продольные и сдвиговые колебания сравнимых амплитуд.

Связь продольных и сдвиговых возмущений пропадает лишь при не зависящих от угла колебаниях диска (m=0). При этом характеристическое уравнение (8) распадается на два более простых

Y-0- J m Jm (X) = 0,(10)

2Jm(v) + Jm (V) = 0.(11)

Уравнение (10) соответствует радиальным колебаниям диска (B=0), которые рассматривались Мэзоном [4] в связи с исследованием мод колебаний пьезоэлектрических резонаторов. Резонансные частоты этих колебаний особенно сильно зависят от о (см. рис.1, кривая для моды (0,1)). Второе уравнение соответствует чисто сдвиговым колебаниям (A=0) и является частным случаем дисперсионного уравнения Похгаммера-Кри для мод крутильных колебаний упругого стержня, не зависящих от постоянной распространения[3]. Решение для этих мод является точным для диска произвольной толщины. Из (11) следует, что соответствующие резонансные частоты абсолютно не зависит от коэффициента Пуассона (см.рис.1), кривая для моды (0,2)). Резонансная частота моды (0,2) может быть использована для экспериментального нахождения скорости сдвиговых волн ct . В тех случаях, когда она не возбуждается, для нахождения ct с точностью не хуже 0.5 % можно использовать и самый низкочастотный резонанс, поскольку значение

его частоты для тонкого диска слабо зависит от коэффициента Пуассона. Однако для реальных образцов при этом может возникнуть ошибка, связанная с влиянием конечной толщины пластинки, т.к. теория бесконечно тонкого диска при этом, вообще говоря, неверна. Крутильная мода не меняет своей частоты при изменении толщины диска и поэтому более удобна для измерения ct.

Как видно из рис.1, зависимости резонансных частот от коэффициента Пуассона для всех мод представляются плавными монотонными кривыми. Поскольку решение трансцендентного уравнения (8) в каждом конкретном случае требует специального расчета, для практического использования указанные зависимости удобно аппроксимировать более простым выражением

b0 + b s

F = kta = 0 + b s ,(12)

где b0 , b1 , b2 - подходящие константы. Их значения для различных мод приведены в таблице 1. Практически интересным для большинства материалов является диапазон 0.1 £ s£ 0.4 . Расчет показал, при этом ошибка, вносимая выражением (12) с константами из таблицы 1, для всех рассмотренных мод не превышает 0.1% , за исключением моды (2,3), где она не превышает 0.2%, и мод (1,2) и (1,3), где она не

превышает 0.3%. Выражение (12) легко обратить: s=(k t a - b0 - b2 - k ta) . Эта формула может быть использована для определения коэффициента Пуассона на основе экспериментально измеренных резонансных частот.

Характер деформаций диска на различных резонансных частотах иллюстрируется на рис.2. При расчете смещений использовались формулы (3),(4) и (9). Наинизшая мода (№1) соответствует колебанию, при котором контур диска превращается из круглого в эллиптический. Далее по частоте следует мода (№2), при которой концентрические с границей диска окружности не искажаются, однако в процессе колебания происходит их относительный сдвиг и они перестают быть концентрическими, причем окружности вблизи границы диска и вблизи его центра смещаются в противофазе с окружностями, лежащими в промежуточной области. Как замечено в работе [7], при переходе к толстому диску эта мода превращается в изгибное колебание цилиндра. Третья по частоте мода является модой радиальных колебаний диска. Среди оставшихся мод имеется крутильная мода (№7), а также колебания, при которых контур диска приобретает вид многоугольников (№4,6,8). Приведенные на рис.2 картины могут быть полезными при выборе конкретных схем резонансного возбуждения соответствующих мод.