Таким образом, низкочастотные колебания тонких дисков с успехом могут описываться теорией бесконечно тонкого диска. Заметим, что такое хорошее соответствие теории и эксперимента позволяет использовать для нахождения сдвиговой скорости не крутильный резонанс, который не всегда возбуждается, а основной низкочастотный резонанс, соответствующий условию kta = 2.342 ± 0.008 в диапазоне 0 £ s£ 0.5.

Естественным является выяснение границ применимости теории тонкого диска к дискам конечной толщины. С этой целью были проведены измерения резонансных частот для дисков разных радиусов a и разной толщины h, вплоть до очень толстых, когда отношение h/a было близко или даже превышало единицу (см. таблицу 2). Результаты приведены на рис.5. Нанесены экспериментальные точки и теоретические зависимости, построенные при учете дисперсии продольной волны в пластине (см.ниже). При h/a®0 теоретические кривые представляют резонансные частоты бесконечно тонкого диска. Для всех кривых использовалось значение ct =3.05 км/с. Видно, что в области ниже нанесенных тонкими линиями гипербол эксперимент и теория находятся в очень хорошем соответствии. Имеющийся небольшой разброс экспериментальных точек от образца к образцу может быть объяснен неодинаковостью упругих свойств дисков, которая неизбежно возникала при их изготовлении. Замечательно, что резонансные частоты для всех мод практически не зависят от толщины вплоть до частот, близких к частоте сдвигового толщинного резонанса. Аналогичный результат для некоторых из используемых мод наблюдался в упомянутой ранее работе [7].

Наблюдаемое в эксперименте уменьшение резонансных частот некоторых мод с ростом толщины диска может быть рассчитано в рамках представления о колебании пластинки как суперпозиции недиспергирующей крутильной волны и диспергирующей волны Лэмба. Закон дисперсии для волн в пластине выражается уравнениями Рэлея-Лэмба [14], из которых следует, что фазовая скорость низшей симметричной волны Лэмба V слабо зависит от толщины пластины h лишь на частотах много меньших частоты сдвигового толщинного резонанса: kth<< p ; при

этом V = cp = 2ct-^ 1- ct2/cl2 . При kt h >p с ростом h величина V начинает заметно уменьшаться, достигая для очень толстых пластин скорости рэлеевской волны cR. Рассматривая закон дисперсии для обсуждаемой волны на низких частотах, можно получить следующее разложение для скорости по безразмерной толщине kth:

(ct/V) = (ct/cp) + s2(kth) /48 + ... Расчет показывает, что выписанные в правой

части члены разложения дают значение величины V, которое практически не отличается от точного в диапазоне 0 £ kt h £p. Влияние конечной толщины диска на сдвиг резонансных частот может быть учтено использованием в уравнении (8) вместо скорости cp истинной скорости волны Лэмба V. Это означает, что вместо коэффициента Пуассона s=1 -2c2/c2 следует брать его эффективное значение

seff = 1 - 2ct2/V2 »s- s2 (kth) /24. Пусть f - резонансная частота некоторой моды колебаний диска, а f - ее значение для бесконечно тонкого диска. Учет относительного сдвига частоты в первом приближении дает:

f-f0 ,-у.

a

(13)

f0

где Y=s2F(3F/3s)/24 , а F(s)- решение уравнения (8). Если использовать

аппроксимацию (12), то получается следующее выражение для коэффициента у:

s2 F (b1 - b2F) У=—- т(14)

Теоретические кривые для резонансных частот, представленные на рис.5, рассчитаны по формулам (12)-(14). Видно, что экспериментальные точки хорошо ложатся на указанные зависимости.

При условии kth >p теоретический расчет усложняется [8]. На первый взгляд, он мог бы быть проведен описанным выше способом, при использовании вместо приближенного выражения для скорости V его точного значения, следующего из уравнений Рэлея-Лэмба. Однако наряду с дисперсией скорости волны Лэмба для толстых дисков требуется учесть влияние неоднородных волн, возникающих вблизи края диска. Соответствующий сдвиг частот мод особенно существенен в окрестности частоты краевого резонанса. Согласно работе [8], для коэффициента Пуассона s=0.31 указанная частота определяется условием kt h» 1.48p . Кривые, соответствующие толщинным и краевому резонансам, нанесены на рис.5. Как видно, в их окрестности разброс экспериментальных точек велик и принадлежность резонансных частот той или иной моде определить затруднительно.

Практически важным результатом проведенных исследований является демонстрация возможности экспериментального возбуждения в диске семейства

низкочастотных упругих мод - контурных колебаний (по терминологии работы [6], где они были впервые описаны). Метод магнитострикционного возбуждения позволил генерировать указанные колебания в чистом виде, без возбуждения изгибных мод. Получены простые формулы, позволяющие с высокой точностью выразить связь собственных частот мод с упругими модулями материала. Обнаружено, что вплоть до частот, близких к частоте сдвигового толщинного резонанса, собственные частоты всех мод исследованного типа практически не зависят от толщины диска. Частоты ряда мод слабо или вовсе не зависят от коэффициента Пуассона и поэтому могут быть использованы для экспериментального определения сдвигового модуля в материале диска. С другой стороны, в рассматриваемом семействе колебаний имеются моды, частоты которых очень чувствительны к значению коэффициента Пуассона и поэтому позволяют его измерить. Такой метод измерения упругих свойств образцов является очень перспективным, особенно при исследовании образцов малого размера.

БЛАГОДАРНОСТИ

Мы благодарны И.П. Голяминой, В.И. Анисимкину, В.А. Красильникову и В.Г. Можаеву за полезные консультации. Работа выполнена в рамках проекта государственной программы "Физика квантовых и волновых процессов", при частичной поддержке РФФИ (проект №98-02-17401) и программы "Университеты России" (проект №?????).