Применение математического моделирования при обработке результатов рентгенодифрактометрических

исследований

Корчевский В.В. (kvv@ele.khstu.ru)

Хабаровский государственный технический университет

Показано использование численного моделирования при обработке результатов рентгеноструктурных исследований. Предложен численный метод определения параметров тонкой кристаллической структуры. Приведены результаты численных и экспериментальных исследований.

Введение

Информацию о кристаллической структуре веществ получают из анализа таких параметров угловых зависимостей интенсивности дифрагированного излучения (дифракционных линий) как угловое положение, ширина и интенсивность. Экспериментальная дифракционная линия представляет собой свертку функций, одна из которых содержит сведения о кристаллической структуре, другая - о влиянии условий испытаний на параметры дифракционных линий. Каждая из этих функций в свою очередь может быть получена путем последовательного применения операций свертывания к ряду специальных функций, описывающих определенное воздействие на профиль линии [1]. Существуют разные методы определения параметров кристаллической структуры [2, 3], в которых с целью уменьшения трудоемкости обработки использованы различного рода упрощения в представлении функций, образующих экспериментальную дифракционную линию. Однако во многих практических случаях погрешности, связанные с этими упрощениями, остаются неопределенными, что приводит к плохой сопоставимости результатов рентгеноструктурных исследований.

Возможности современной вычислительной техники позволяют предложить другой подход к проблеме устранения влиянии условий на результаты рентгеноструктурных исследований, который заключается в использовании численного моделирования процесса получения дифракционной линии и привлечении численных методов для определения значений функции, входящей в свертку. Целью настоящей работы является развитие этого подхода для определения параметров тонкой кристаллической структуры по профилю дифракционных линий, полученных на дифрактометре со схемой фокусировки по Бреггу-Брентанно.

1. Описание алгоритмов

В рамках кинематической теории рассеяния рентгеновского излучения на кристаллических структурах [4, 5] зависимость дифрагированного излучения от угла отражения ("идеальную" дифракционную линию), полученную на рентгеновском дифрактометре, можно выразить уравнением

I(S) = I K sin2[N• sin2^oо)• ctg&o](1)

sin2[7i(Q-Qo) • ctg&o]

где I0 - интенсивность падающего излучения; $ - текущее значение угла отражения; $0 -брэгговский угол отражения; N - число плоскостей отражения в направлении падающего излучения; K - коэффициент, включающий в себя различные множители, определяющие

1.1. Немонохроматичность.

В общем виде немонохроматичность характеристического излучения представляет собой наличие Ка1 и Ка2 - излучений, каждое из которых обладает спектром, описываемым дисперсионной формулой [6]

I = I _ -max

1X =1 max

л 2 + (х max IX-1) X max +2

(X max IXl/2 -1)

где Imax - максимальная интенсивность; Xmax и X1/2 - длины волн, соответствующие максимальной интенсивности и половине максимальной интенсивности.

Дублетность излучения приводит к тому, что дифракционная линия представляет собой суперпозицию двух линий, описываемых выражением (1). Вторая линия имеет интенсивность в два раза меньшую, чем первая, и сдвинута по оси углов относительно первой на величину междублетного расстояния, определяемого выражением:

X k - X k X кп1

где Q oa1 - брэгговский угол отражения, соответствующий Ка1 - излучению; ХКа1 и ХКа2 -

длины волн Ка1 - и Ка2 - излучений, соответственно.

Угловую зависимость интенсивности дифрагированного немонохроматичного излучения можно рассматривать как суперпозицию большого количества "идеальных" дифракционных линий. Каждая из этих линий смещена по оси углов относительно брэгговского угла отражения Q0max, соответствующего Xmax, на величину AQ0^, определяемую по выражению (2), только ХКа1, ХКа2, -Эоа1 заменяются на Xmax, X; , Q0max, соответственно.

Интенсивность этой линии меньше в Ix/Imax раз интенсивности линии, соответствующей

Q0max.

При переходе от непрерывн^хх к дискретным значениям длин волн возникают погрешности, связанные с шагом дискретизации и конечным значением диапазона длин волн, в котором определен спектр излучения. Проведенные численные исследования показали, что, если в выбранном диапазоне длин волн содержится более 90% всей энергии излучения, и если шаг дискретизации менее 0,02 от размера этого диапазона, то отклонения значений параметров дифракционной линии от истинных не превышают 0,1 %.

1.2. Геометрические условия.

Влияние геометрических условий съемки на профиль дифракционной линии можно учесть путем численного моделирования процесса получения дифракционной линии на рентгеновском дифрактометре со схемой фокусировки по Брэггу-Брентано. Согласно этой схемы (рис.1) проекция фокуса рентгеновской трубки F и щель детектора S2 располагаются на одной окружности, на оси которой располагается поверхность образца. Детектор D

значение интенсивности дифрагированного излучения, но не оказывающие влияние на профиль дифракционной линии (типа структурного множителя, множителя поляризации и

др.).

В процессе регистрации "идеальной" дифракционной линии происходит её искажение. Наиболее существенными факторами, оказывающими влияние на профиль дифракционной линии, считаются немонохроматичность характеристического излучения и геометрические условия получения дифракционной линии [2].

вращается относительно оси с угловой скоростью, в два раза превышающей скорость вращения образца. В результате этого при любом угловом положении поверхности образца относительно фокуса рентгеновской трубки детектор будет находиться под углом отражения падающего на поверхность излучения.

Основная идея этого моделирования состоит в том, что фокус рентгеновской трубки F рассматривается как совокупность точечных источников. Расходящееся излучения от каждого точечного источника падает на образец О в некотором диапазоне углов отражения, определяемого расстоянием от фокуса до образца, углом поворота образца относительно фокуса, шириной щели S1, расстоянием от фокуса до щели S1 и от щели S1 до образца. Это излучение можно представить в виде набора дискретных лучей, угловое положение каждого из которых отличается от рядом расположенных на одинаковый элементарный угол. Каждый такой луч несет в себе энергию, соответствующую энергии непрерывного излучения, расположенного в этом элементарном угле. Перебирая такие лучи, проходящие через щель S1, для определенных точек фокуса трубки, можно получить угловое распределение интенсивности падающего излучения.

Рис. 1. Схема фокусировки по Брэггу-Брентано.

Исследуемый объект представляет собой идеально-мозаичный кристалл, состоящим из одинаковых областей когерентного рассеяния (ОКР). В рамках данной модели предполагается, что распределение ориентировок плоскостей отражения ОКР относительно облучаемой поверхности характеризуется равномерным распределением в заданном диапазоне углов разориентации. Ориентация ОКР относительно плоскости поверхности образца задается генератором случайных чисел. Если угол падения луча по отношению к плоскостям отражения некоторой ОКР соответствует углу Вульфа-Брэгга, то возникает дифрагированное излучение. Это излучение будет зарегистрировано детектором D только в том случае, если пройдет через щель детектора S2, имеющей заданную ширину. При моделировании сделано допущение, что пучок излучения падает только на одну ОКР. Угловое распределение дифрагированного от отдельной ОКР излучения определяется выражением (1). Только брэгговский угол отражения для такого распределения смещен относительно брэгговского угла отражения всей дифрактограммы на угол разориентации ОКР. Согласно кинематической теории рассеяния рентгеновского излучения для идеально-мозаичного кристалла сама дифрактограмма является суммой угловых распределений дифрагированных от отдельных ОКР излучений.

В результате выполнения этих операций получается теоретическая дифракционная линия, содержащая инструментальные погрешности, обусловленные немонохроматичностью