этого алгоритма максимальное значение показателя Херста и H-траектории окажется явно меньше по сравнению со значениями н для исходного ВР в случае, если этот ВР обладает долговременной памятью. Авторами настоящей работы осуществлен массовый фрактальный анализ, т.е. построены H- и R/S-траектории для данного СВР. На основании полученных результатов можно утверждать, что рассматриваемый СВР состоит из квазициклов (в переводе с греческого «квази»- это «как бы»).

1-^ \ о

Рис.4. R/S - траектория и Н - траектория отрезка Z4 СВР (1)

При этом указанные выше точки смены тренда чаще всего представляют собой окончание этих квазициклов.

В качестве иллюстративного примера использования инструментария фрактального анализа ВР рассмотрим на рис. 4 R/S -траекторию и H-траекторию для отрезка Z4 СВР (1), представляющего собой временной ряд ежедневных поступлений денежных средств на расчетный счет РО ФСС РФ: z{, i=4,5,...,n, где п = 248 обозначает собой число, которым

занумеровано 31 декабря 2002-го года.

На основании визуализации представленных на рис.4 траекторий можно сформулировать следующее заключение:

•Точки т =3 и т =4 уже находятся (см. H-траекторию) в области черного шума, затем при переходе с 4-ой точки в 5-ую наблюдается срыв в область белого шума (значение H(5) = 0,52), что позволяет предварительно оценивать глубину памяти в этой окрестности рассматриваемого ВР Z4 числом 4.

•Смена тренда R/S-траектории в точке т =4, сопровождаемая уходом H-траектории в зону белого шума, позволяет оценить глубину долговременной памяти числом 4.

Проведенный численный анализ R/S- и Н-траекторий последовательности отрезков

ZT, т = 3, n исследуемого СВР (последовательным отсечением по одному начальному

элементу) привел к следующему результату. Порядка 60% графиков Н-траекторий для этих отрезков демонстрируют «срыв с тренда» уже с 3-ей точки, а также порядка 20% графиков R/S-траекторий демонстрируют «срыв с тренда» с 4-й, или 5-й точки (см. рис 5).

Рис.5. H- и R/S-траектории демонстрируют срыв с тренда в точке 4

Рис.6. Последовательности нечетких (т. е. слабовыраженных) срывов с тренда

Вместе с тем, имеют место графики R/S- и Н-траекторий исследуемого СВР для которых характерна продолжительная последовательность «микросрывов» с тренда на отрезке длиной до 20 и более точек (рис. 6). Такое поведение графиков R/S- и Н-траекторий нельзя однозначно квалифицировать как признак наличия долговременной памяти в исходном СВР. Поэтому полагаем, что данному СВР характерно слабовыраженное наличие долговременной памяти.

Формирование нечеткого множества значений глубины памяти СВР

Оценим результаты проведенного R/S - анализ временных рядов из семейства S(Z) путем формирование нечеткого множества значений глубины памяти для всех ВР этого семейства.

Пусть для каждого из ВР zir , i = 1,nr , r = 1, m в результате его R/S -анализа

построены R/S- траектория и Н- траектория, определяющие собой номер lr- ой точки, в которой произошла смена тренда, т. е. lr - это номер находящейся «выше» зоны белого шума первой по порядку точки, в которой н - траектория получила отрицательное приращение, a R/S-траектория сменила тренд.

Введем следующие обозначения:

NO-количество всех рядов z\ , i = 1, nr из семейства S(Z), у каждого из которых номер точки смены тренда lr равен числу l ;

l

L0

mm lr; L° = max lr; m = У N(l) ; d(l) = N(l) - доля таких рядов в S(Z), у каждого

1<r<m1<r<ml 10m

из которых потеря памяти произошла на глубине l;

Таблица 1

L(Z) = {^-множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства S(Z); M(L) = {(l,—нечеткое множество (НМ) глубины памяти для начального CВР (1),

где /и (l) - это значения функции принадлежности «глубины l» нечеткому множеству M(Z). Значенияпропорциональны числам d(l), l G L(Z) и получаются путем

нормирования значений долей d(l) так, что u(l)<1 для всякого l G L(S).

В таб.1 представлены значения термов [14] нечеткого множества (НМ), выражающего глубину памяти исследуемого СВР (1). Значения функции принадлежности элементов /(l) последней строки в таб.1 вычисляются следующим образом. Сначала находим максимальную долю d* = maxd(l) (в таб.1 значение d* =

leL( Z)

0,16) и соответствующую ей глубину l* = (d(l*)) = l*, (в таб.1, значение l* = 4). Далее для каждой глубины l* экспертным путем устанавливается значение функции принадлежности /и* = /и( l*) (в таб.1 значение и* = /(4) = 0,90). После чего для остальных элементов l G L(Z) соответствующие им значения функции принадлежности /(l) вычисляются по формуле *

U( l) = U- d(l). d

Следующий этап - формирование нечеткого множества M(Z) осуществляется путем попарного объединения элементов первой и последней строк таблицы вида таб.1. Например, конкретно из таб.1. получаем НМ

M(Z)={(3;0,45),(4;0,9),(5;0,45),(6;0,45),(7;0,45),(8;0,45),(9;0,45),(10;0,68),

(12;0,23),(13;0,23),(14;0,23),(18;0,23),(20;0,23),(47;0,23)}. Для наглядности на рис.7, представлено геометрическое изображение этого НМ.