2. Определение угловой скорости суммарного вектора Для описания нестационарного режима целесообразно свести реакцию системы на внешнее воздействие к соответствующей реакции фазы суммарного вектора S. В наибольшей степени нас будет интересовать его угловое положение, которое обозначим pS. Квадратурные составляющие вектора S являются суммами

квадратурных составляющих векторов колебаний отдельных АГ: С$ = S cos pm

и

m

Ss = S sin pm . Производная фазы суммарного вектора равна

m

m

d(ps = d_(агС1Я3£_) = _L(C . - s . dt dtCs S2 S dt s dt

= ttS(Cs • cospn +ss■ sinpn)• <dpr• S2dt

В первой строчке этой записи нетрудно увидеть результат векторного произведения

S dSS

S x-, а в последней - сумму скалярных произведений векторов S и an, т.е.

dt

d(pS = 1S a ,d(pn

— = — S (S ■ a J —.

Отсюда видно, что парциальный вектор вносит наибольший вклад в угловую скорость суммарного вектора, если они ориентированы параллельно или антипараллельно, и нулевой вклад - если они взаимно перпендикулярны.

m

)

модулированного определенным образом, и шума. Известная процедура [3] предусматривает введение двух квадратурных составляющих узкополосного шума A(t)cos^0t и C(t)sin^0t, где - частота синхронных колебаний в системе. Эти составляющие, так же как и детерминированная часть внешнего сигнала, подводятся в парциальным АГ сдвинутыми по фазе на углы 0к .

d(ps dt

?2 cos((S -(Pn ) • sin(((S -(n ) +

(2)

л

Продолжая разложение, приводим (2) к виду

ddt~ = 2? cos ^ 2 sin((S - 2(n ) - sin (S 2 cos((S - 2(n )] +

+ — [cos (S ■ 2 sin(0n - 2(n ) - sin (S ■ 2 cos(6n - 2(Pn )]

Cуммы, стоящие в квадратных скобках, можно ассоциировать с синусной и косинусной составляющими некоторых векторов R1 и R2, характеризующих отклонение конфигурации от равновесного состояния, и записать уравнение (2) в виде

Q S =v[S х R1^-[S х R2],(3)

где Q s - вектор угловой скорости поворота вектора S, а квадратные скобки означают

векторное произведение.

Первый член правой части (3) отражает стремление системы к симметричному расположению векторов около среднего направления. Нарушение симметрии, обусловленное теми или иными причинами, вызывает отклонение суммарного вектора в сторону "центра тяжести" пучка индивидуальных векторов.

Второй член правой части (3) отражает стремление суммарного вектора следовать за положением вектора внешнего воздействия. В стационарном состоянии в силу симметрии векторы R1 и R2 обращаются в ноль. В целом уравнение (3) аналогично парциальным уравнениям системы (1), в которых фаза каждого вектора колебаний стремится к фазе суммарного векторного воздействия, причем скорость релаксации пропорциональна амплитуде этого воздействия. Необходимо заметить, что

Представляя производные фаз отдельных АГ согласно исходным уравнениям (1), после ряда тригонометрических преобразований получаем следующее выражение:

3. Векторное представление динамических режимов в синхронизуемых АГ Алгебраической записи уравнения для угловой скорости вектора S в выражении (2)

dt S

-zt(Cs

dSS

ss-— )

dtdt

соответствует векторное уравнение

Q

1

S х2 %

Чтобы придать этому уравнению замкнутый вид, выразим производные парциальных векторов через заданные исходными уравнениями (1) величины их угловых скоростей. Для этого, применяя в исходных уравнениях тот же формализм, что и в уравнении для суммарного вектора, для каждого из парциальных векторов следует записать

Q а = М •[an х S ] + Х[ап хвп ],

где вп обозначает единичный вектор, повернутый на угол en

2

формализм уравнения (3) только иллюстрирует тенденции поведения системы связанных АГ, но, к сожалению, не дает явного выражения для входящих в правую часть векторных величин. Задача их отыскания решается прямым численным интегрированием уравнений (1). Тем не менее, при некоторых допущениях анализ системы (3) позволяет сделать ряд выводов о характере динамических процессов в системе.

Предварительно интерпретируем уравнения анализируемой системы в терминах векторной геометрии, позволяющих более наглядно иллюстрировать указанные процессы.