МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ В НЕКОТОРОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МАЛОМ

ПАРАМЕТРОМ

Ни Минь Кань (Mingkang@mail.ru)

Университет города Переславля Восточно-китайский педагогический университет

1. Постановка задачи

В настоящей работе мы будем показывать что метод улучшения может быть использован и в задачах близких к вырожденным и при этом он, стартуя с асимптотических приближений, порождает такую последовательность управлений, которая с одной стороны близка к асимптотическому приближению более высокого порядка, а с другой - приводит к строгому улучшению оценки субоптимальности.

Пусть требуется минимизировать функционал

ГT (б2 \

h(u) = a(x,t) + b(x,t)u +--uu dt —> min,(1)

Jo \2 Ju

при ограничениях

X = u, x(0,e) = xo, x e Rn, u e Rn,(2)

где б > 0 -малый параметр, штрих означает транспонирование, a(x, t), b(x, t) - достаточно гладкие функции.

Здесь (1), (2) - n-мерный аналог простейшей вариационной задачи со свободным правым концом. При б = 0 эта задача является вырожденной, т.е. соотношения необходимых условий Эйлера здесь превращаются в систему конечных уравнений. Задача (1), (2) близкая к вырожденной имеет решение, аппроксимирующее, вообще говоря, разрывное решение предельной задачи, и относится к классу сингулярно возмущенных вариационных задач, т.к. вблизи точек разрыва траекторий вырожденной задачи траектория исходной возмущенной задачи аппроксимирует разрывы и имеет внутренние и внешние зоны быстрого изменения - зоны пограничного слоя. Предположим, что имеется некоторое допустимое

управление, в частности, построенное на основе вариационного анализа метод пограничных функций (так называемой прямой схемой). Итак, пусть имеем асимптотическое равномерное приближение n-го порядка

i=0

tt - T

где го = -, г1 =-, причем

бб

lim П^х(г0) = 0, lim Rix(r1) = 0, i = l,n,

To—+ooT1—> — oo

и допускают, вообще говоря, экспоненциальные оценки и аппроксимируют решение на границе. Для простоты предполагаем отсутствие внутренних переходных слоев. В качестве допустимой траектории возьмем экспоненциально близкую к Xn(t, б)

х°(. , „ , ^ "

}(t,6) = Xn(t,6) = f° ^x^-)

i=0x 6

и имеет место оценка x(t, б) — X°(t, б) У < Сбп+1 при 0 < T.

По методу улучшения попытаемся построить элемент улучшения X1(t, б). Приведем процедуру улучшения. Сначала преобразуем задачу (1), (2). Предварительно введем переменную x1 (t)

x1(t) = J ^a(x,t) + b(x,t)u + ^uu^j dt

т.е. Ie(u) = x1(T). Затем введем переменную y = x1(t) — ^(x,t), дифференцируя которую получаем

y = a(x, t) — (ft(x, t) + (b(x, t) — ipx(x, t))u + — uu.

Выбираем непрерывно дифференцируемую функцию ip(x,t) так, чцобы имели место уравнения

<px(x,t) = b(x,t),(3)

p(x(T ),T ) = 0,(4)

Пусть имеет место условие

т dbi dbj . . — I. 7Г~ = я"~ %j = l,n.

При выполнении условия I пфаффова система (3), (4) разрешима. В новых переменных исходная задача имеет вид

Ie(u) = y(T) —► min, X = u, x(0) = x0

y = -P (x,t) + - u u, y(0) = 0,

где P(x, t) = —a(x, t) = —a(x, t) + tpt(x, t).

Отбрасывая дифференциальные связи, определяем функционал [31]

f т

L(x yu) = G(x(T)y(T)) — R(x y ut) dt

0

где

G(x(T ),y(T) = Ф(Т^(Т ),y(T)) — <^(0,x0,y(0)) + y(T),

R(x, y, u, t) = $>x(t x, y)u — (-P (x, t) + — uu) + $>t (t, x, y).

Нетрудно видеть, что L(x, y, u) = для допустимой тройки (x, y, u) и поэтому на допустимых элементах имеем

Ie(ul) < Ie(u),

если

L(xly1 ,ul) < L(xyiu).

Задавая ^?(t,x,y) различными способами можно получить различные методы улучшения.

Пусть ^(t,x,y) = 4>(t)x — y, где вектор-функция ^(t) пока не известна, т.е. рассмотрим процедуру улучшения первого порядка.

Обозначим

L(x,y) = sup L(x,y,u) = G(x(T),y(T)) — / sup R(x,y,ut)dt

иJ0 и

тогда Ru = Ф — t2u = 0, и u1 = -—4>(t), т.е. нашли элемент улучшения.

б2