| ||||
|
Главная страница » Энциклопедия строителя содержание: [стр.Введение] [стр.1] страница - 1 Введем R(x, y, t) = sup R(x, y, u, t) = ФФ + P (x, t) + <bt u2е2 9GdR и определяем Ф(t) с помощью соотношения —— = 0 == Ф(Т ) = 0, —— = dxdx 0 == Px(x,t) + Ф = 0. Теперь для элемента улучшения x1(t, е) получаем e2x1 = -Px(xl,t),(5) x:(0,e) = x0, x 1(T,e) = 0,(6) используя u1 = —Ф^) и уравнение (2). Последняя краевая задача явля-е2 ется сингулярно возмущенной с одной стороны, а с другой - (5), (6) есть уравнение Эйлера для исходной вариационной задачи. Таким образом, элемент улучшения x1 может быть оптимальным. Предположим теперь, что мы построили асимптотику решения задачи (5), (6) порядка (n + m) — Xn+m(t, е). Асимптотическое приближение Xn+m(t,e) строится при определенных условиях, но мы все эти условия сведем к результирующим оценкам. //. x1(t, е) — Xn+m(t, е) < cen+m+1, p 0 < t < T, II n^x(r0) < ce-T0,i = 0,n + m, II Rix(r1) < ceT1, Вместо Xn+m теперь вводим допустимую тpаектоpию. n+mT X1(t,е) = Xn+m(t,е) — J2 егR%x(--). Для доказательства основного утверждения о том, что X1(t,е) является улучшением x0(t, е) нам требуется еще одно условие III. Матpица Рхх^,е) является отpицательно определенной для всех t Е [0,T] и x Е Rn. Теорема 1. Пpи выполнении условий I — III и достаточно малых е > 0 имеем ^(U1) </e(U°), где u1 = x , и0 = x . Доказательство. Разложим L(x,y) в точке x1, учитывая соотношения для ^(t) L(x,y) = L(x1,y) — £ 0RR(x\y)Ax, Ax) + O(\\Ax\\2dt + o(\\A\\2) Здесь Ax = x — x1. Аналогично разложим L(x0,y) по x в окрестности x0 и L(x1,y) в окрестности x1. Получаем L(x0 y) = L(x 1 O 2R — x1)^0 — x1)^ dt+O(62(n+1))dt, G L(x1,y) = L(x\y) + (Ox (x1 (T ),y(T )),x1 — x1) 2( Ox2 — l0T U Ox (x1y),x1 — x1) + 2(0x2(x ,y)(x — Т.к. и то OG x ORR x L- = OG x = OR x = L- 1 — x1 x1 — x1) + O(62(n+m))^j + O(en+m) dt. и следовательно L- x=x1 L _1 — — Г((Pxx(x1t)(x0 — x1),x0 — x1)) dt + O(62(n+m)). x=x1 2 J0 + O(6n+m), =x1 + O(6n+m), 1 0 „д\ ~0 ь Отсюда вытекает, что при достаточно малых б > 0 L- Так как x0, x1 являются допустимыми траекториями, то Ie(u°) = L \x=x° h(ul) = L \x=x1 т.е. Ie(u0) >Ie(u1) что и требовалось доказать. Итак, метод улучшения позволяет, на основе асимптотических приближений, построить последовательность допустимых управлений, вдоль которой значения функционала строго убывают с ростом нормы приближения. Работа выполнена при поддержке фонда Шанхайского е-института вычислительных наук Китая ЛИТЕРАТУРА 1.Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -M.: Наука, 1973. 2.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.-M.: Высшая школа, 1990. 3.Ни Минь Кань, Дмитриев М.Г. Контрастные структуры в простейшей векторной вариционной задаче и их асимптотика// Автоматика и телемеханика. 1998, № 5, С.41-52. содержание: [стр.Введение] [стр.1] |
|||
© ЗАО "ЛэндМэн" |