Как обустроить мансарду?



Как создать искусственный водоем?



Как наладить теплоизоляцию?



Как сделать стяжку пола?



Как выбрать теплый пол?



Зачем нужны фасадные системы?



Что может получиться из балкона?


Главная страница » Энциклопедия строителя

содержание:
[стр.Введение] [стр.1]

страница - 1

Введем

R(x, y, t) = sup R(x, y, u, t) = ФФ + P (x, t) + <bt u2е2

9GdR

и определяем Ф(t) с помощью соотношения —— = 0 == Ф(Т ) = 0, —— =

dxdx

0 == Px(x,t) + Ф = 0.

Теперь для элемента улучшения x1(t, е) получаем

e2x1 = -Px(xl,t),(5)

x:(0,e) = x0, x 1(T,e) = 0,(6)

используя u1 = —Ф^) и уравнение (2). Последняя краевая задача явля-е2

ется сингулярно возмущенной с одной стороны, а с другой - (5), (6) есть уравнение Эйлера для исходной вариационной задачи. Таким образом, элемент улучшения x1 может быть оптимальным.

Предположим теперь, что мы построили асимптотику решения задачи (5), (6) порядка (n + m) — Xn+m(t, е). Асимптотическое приближение Xn+m(t,e) строится при определенных условиях, но мы все эти условия сведем к результирующим оценкам.

//. x1(t, е) — Xn+m(t, е) < cen+m+1, p 0 < t < T, II n^x(r0) < ce-T0,i = 0,n + m,

II Rix(r1) < ceT1, Вместо Xn+m теперь вводим допустимую тpаектоpию.

n+mT

X1(t,е) = Xn+m(t,е) — J2 егR%x(--).

Для доказательства основного утверждения о том, что X1(t,е) является улучшением x0(t, е) нам требуется еще одно условие

III. Матpица Рхх^,е) является отpицательно определенной для всех t Е [0,T] и x Е Rn.

Теорема 1. Пpи выполнении условий I — III и достаточно малых е > 0 имеем

^(U1) </e(U°),

где u1 = x , и0 = x .


Доказательство. Разложим L(x,y) в точке x1, учитывая соотношения для ^(t)

L(x,y) = L(x1,y) — £ 0RR(x\y)Ax, Ax) + O(\\Ax\\2dt + o(\\A\\2)

Здесь Ax = x — x1. Аналогично разложим L(x0,y) по x в окрестности x0 и L(x1,y) в окрестности x1. Получаем

L(x0 y) = L(x

1 O 2R

— x1)^0 — x1)^ dt+O(62(n+1))dt,

G

L(x1,y) = L(x\y) + (Ox (x1 (T ),y(T )),x1 — x1)

2( Ox2

— l0T U Ox (x1y),x1 — x1) + 2(0x2(x ,y)(x —

Т.к.

и

то

OG

x

ORR

x

L-

= OG x

= OR

x

= L-

1 — x1 x1 — x1) + O(62(n+m))^j + O(en+m)

dt.

и следовательно

L-

x=x1 L

_1 — — Г((Pxx(x1t)(x0 — x1),x0 — x1)) dt + O(62(n+m)).

x=x1 2 J0

+ O(6n+m),

=x1

+ O(6n+m),

1

0 „д\ ~0 ь

Отсюда вытекает, что при достаточно малых б > 0

L-

Так как x0, x1 являются допустимыми траекториями, то Ie(u°) = L \x=x° h(ul) = L \x=x1

т.е.

Ie(u0) >Ie(u1)


что и требовалось доказать.

Итак, метод улучшения позволяет, на основе асимптотических приближений, построить последовательность допустимых управлений, вдоль которой значения функционала строго убывают с ростом нормы приближения.

Работа выполнена при поддержке фонда Шанхайского е-института вычислительных наук Китая

ЛИТЕРАТУРА

1.Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -M.: Наука, 1973.

2.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.-M.: Высшая школа, 1990.

3.Ни Минь Кань, Дмитриев М.Г. Контрастные структуры в простейшей векторной вариционной задаче и их асимптотика// Автоматика и телемеханика. 1998, № 5, С.41-52.




содержание:
[стр.Введение] [стр.1]

© ЗАО "ЛэндМэн"