Найдем собственную частоту колебаний генератора, при условии отсутствия колебаний тележки (A=0). Это позволит определить резонансную частоту колебаний при силовом возмущении.

Уравнение (3) при подстановке в него выражения для силы упругости и углов juLj, становится очень громоздким и трудным для анализа. Поэтому разложим слагаемые (3) в ряд по P, отбросив слагаемые высшего порядка. Тогда получим:

mLgcos ju2 = mLg sin pconst + mLgp cos pc

const

(4)

(L +1) F1 cos jj1 = (L +1 )F1° cos

р t + arctg

• const©

L +1

-в

+

+

-(L +l )F10 sin

Pconst + arctg

L +1

-в

+

+

(L +1 )c1

L c0s (a1 -Pconst ) + +l c0s («1 -Pconst )--r sin («1 +pconst )

cos

Pconst +arctg

L +1

в

P

LF2 c0s J3 = LF20 c0s (-Pconst +в2 ) +

+ [ LF20sin (-pconst +в2 )-LL c2c0s («2 -Pconst )c0s (-pconst +в2 ))P

(5)

(6)

Здесь a1 - угол наклона натяжного устройства к горизонтали; a2 - угол наклона оси ременной передачи к горизонтали.

Подставим (4), (5), (6) в (3). Слагаемые в полученных выражениях, не содержащие P, при подстановке в (3) в сумме равны нулю, поэтому могут быть исключены из уравнения. Учитывая это, и обозначив множители при P в (4), (5), (6) соответственно как R], R2, R3, найдем выражение для собственной частоты колебаний генератора:

^0 =

1 R1 + R2 + R3 2;г

mL2

(7)

Полученное выражение (7) позволяет рассчитать резонансную частоту колебаний генератора, на которой возможен значительный рост амплитуды колебаний при воздействии внешнего возмущения.

Рассмотрим колебания генератора с учетом возмущений со стороны тележки. Если принять угол <pconst=0, получим уравнение (3), которое содержит периодический коэффициент А и представляет собой дифференциальное уравнение второй степени с периодически меняющимся коэффициентом вида:

q + col (1 + 2 Л cos cot) q = 0, которое в литературе получило название уравнения Матье [6, 7, 8, 9, 10]. Приведем (3) к форме уравнения Матье. Тогда

®1 = ~ +

1

LmL2

(L +l )Fi0

sin

-arctg

L +1

+

+ (L +1)c1 (Lcosa1 +1cosa _ rsina )cos -LF20 sin в2 - L1 c2 cosa2 cos fi2

arctg

L +1

и

a

2Lc 0

Согласно [6] области неустойчивости уравнения Матье на плоскости параметров /л, со примыкают к частотам

Р

Таким образом, зная значение с0, можно определить, устойчива ли

динамическая система, соответствующая уравнению Матье. Следует отметить, что величина с0 эквивалентна собственной частоте колебаний уравнения (3) при равенстве нулю параметрического воздействия (a cos(ct) =0).

Определим границы области неустойчивости для уравнения (3) при принятых допущениях, воспользовавшись методикой [6].

Зададимся следующими значениями параметров конструкции системы

7

1

подвешивания и генератора: в=—71, в2 =—л, L = 0,24 м, F1 = 2773 Н,

30

30

F20 = 3500 Н, с] = 150 кН/м, с2 = 250 кН/м, m = 200 кг, g = 9,8 м/с2, a1 = — л,

30

1

a2 = 307, l = 0,024 м, r = 0,216 м, которые близки к параметрам в

конструкции пассажирского вагона.

Результаты расчета представлены на рис. 6.

со/2л, Гц

12-

10-

i I I I I i i i I i i I I I I i i I I i i i I I I

2

-a, м/c-

Рис. 6. Области неустойчивости уравнения (3)

Как следует из рис. 6, области неустойчивости решения уравнения (3) при Pconst=0 находятся на частотах около 3, 4, 6 и 12 Гц.

Найденные зоны неустойчивости на основе анализа уравнения Матье были получены, исходя из Pconst=0, что на практике может не выполняться. Поэтому необходимо исследовать устойчивость колебаний генератора при Pconsf£0. Однако, привести уравнение (3) к уравнению Матье в этом случае значительно сложнее.