Определяющее соотношение для реологических процессов, его обращение и анализ свойств кривых ползучести модели

Хохлов А.В. (khokhlov@imec.msu.ru )

Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 04-01-00325

Эта статья - продолжение исследования предложенного в работе [1] нелинейного определяющего соотношения (ОС) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов в случае монотонного изменения деформации (в частности, ползучести, релаксации, вязкоупругости, пластичности и сверхпластичности). Деформация не предполагается малой и потому используется логарифмическая деформация s(t) := ln l(t)/1(0). В дальнейшем будем считать историю деформирования s(t) неубывающей кусочно-непрерывно дифференцируемой положительной функцией безразмерного параметра времени t > 0. Соответствующее (безразмерное) напряжение cr(t) строится в виде композиции двух независимых нелинейных операторов R и F7, действующих по схеме s(t) ь-> у(t) ь-> cr(t):

<r(t) = F(y(t)), y(t) = Rs, гдеRs:=s(t)ate Sq^\[s,sSL^tV, t>0,(0.1)

a,p,q> 0, £,ri> 0, в,*,u>0,®1 > 0 -(0.2)

материальные параметры (МП), способ определения которых по экспериментальным данным предложен в [1,2]; F(x), x > 0, - материальная функция (произвольная неубывающая кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию отсутствия начальных напряжений F (0) = 0). Реологический оператор R отображает деформацию s(t) в неотрицательную функцию y(t), которую будем называть квазинапряжением, так как текущее значение y(t) связано с cr(t) функцией F. В определение R входят интегральные операторы Lp <в и Sqz&i, отображающие историю деформации s(r), 0 < т < t, в функции

[s] := [J ((т) Т0 У dTJ и Sm [s, s] := ^ j^1 -1) q [%\s (т)* + \ts{t)\4 )dT^(0.3)

переменной t > 0. Они задают семейства снабжённых специальными весовыми множителями норм (квазинорм при p, q е (0;1)) пространств Лебега Lp [0; t] и Соболева Wq [0; t], зависящих от

параметра t > 0. Весовой параметр % > 0 позволяет регулировать относительную величину вкладов s(t) и s(t) в значение оператора Sq % ^ [s, s], причины введения множителей т, т®1 и

Т0 и вытекающие из этого возможности, указаны в работах [1-3] и п.1,3-6 этой статьи. В них показано, что от a>i и в существенно зависят все основные математические и «физические» свойства модели. В частности они, позволяют регулировать показатели асимптотики функций y(t) при t ^+0 и t -—сю и моделировать эффект затухания памяти материала, т.е. обеспечить независимость асимптотик теоретических кривых релаксации и ползучести при t — сю от конкретного закона изменения деформации (или напряжения) в стадии перехода от нулевого до заданного постоянного значения на любом конечном интервале времени. Такое определение затухания памяти (модели или материала) - более слабое требование, чем принятые в монографиях [4,5], но зато его выполнение может быть проверено в испытаниях материала. ОС (0.1) является обобщением предложенного в работе [6] соотношения

Г tyr/p

a(t) = F(y(t)), y(t) = Asa t-вjs(т)pdт , r> 0 , a,p > 1, ве [0;1],(0.4)

которое, в свою очередь, было получено из трёхпараметрической модели Фицжералда [7] путём введения материальной функции F и множителя Гв (более подробный обзор см. в статье [2]). В статьях [6,7] приведены сравнения результатов расчетов по этим моделям-прототипам с данными экспериментов, показавшим их применимость к описанию некоторых аспектов поведения таких материалов, как твёрдое топливо и асфальтобетон. Это мотивирует систематическое исследование их обобщения (0.1). Цель введения в ОС (0.1) оператора Sqzai, явно учитывающего скорость деформации (СД), -

распространение ОС на материалы, обладающие повышенной чувствительностью к скорости деформирования, в частности, углеродные и керамические материалы при высоких температурах. ОС (0.1) представляется перспективным для описания поведения металлов и сплавов в состоянии сверхпластичности. Сверхпластичность - способность материалов к очень большой пластической деформации в условиях сильной зависимости напряжения течения от СД, которая, как правило, наблюдается у металлов и сплавов с мелкозернистой структурой при достаточно высоких температурах [8]. Некоторые авторы рассматривают сверхпластичность как особый случай ползучести [9]. Самое популярное уравнение состояния сверхпластичных материалов имеет вид <j(t) = Ks(t)ms(t)n, где K,m > 0, n > 0 - материальные постоянные, причем m/n >> 1 >> n (чаще всего полагают n = 0 ). ОС (0.1) даёт близкую зависимость в случае % << 1, £/(a-rj) >> 1, q > 1 и F(x) = HxM , H, M > 0 . Кроме того, оно позволяет учесть зависимость напряжения от истории деформирования и зависимость параметра скоростной чувствительности m от СД i, регистрируемую в испытаниях сверхпластичных материалов.

Наличие девяти свободных параметров и одной произвольной функции F(x) в соотношении (0.1) предоставляет, как показано в [1], более широкие возможности по управлению свойствами модели и по её настройке за счёт выбора значений определяющих параметров с целью адекватного и всестороннего описания поведения реономных материалов. Определяющее соотношение (0.1) позволяет (в случае монотонных процессов деформирования s(t)) описывать не только отдельные эффекты реологического поведения материалов, но и целый их комплекс: ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность, релаксацию, эффект затухания памяти материала, зависимость напряжения от деформации и СД, зависимость "модуля упругости" при малых деформациях от СД.

В статьях [1-3] при любых допустимых значениях материальных параметров (0.2) выведены уравнения теоретических диаграмм деформирования с постоянной скоростью, кривых релаксации, кривых ползучести (КП) для мгновенного нагружения и кривых длительной прочности, аналитически исследована зависимость их свойств от МП и МФ F. Из общих качественных механических свойств материалов, наблюдаемых в опытах (возрастание напряжения с ростом деформации и СД, возрастание деформации ползучести с течением времени и с повышением напряжения, убывание кривой длительной прочности, убывание напряжения при релаксации, затухание памяти материала и т. п.) были выведены необходимые и достаточные дополнительные ограничения на МП:

d> 0, m0 < 0, d + m0 > 0, n1 <0,(0.5)

где d :=a + ^-n , m0:= P+^(a>1 -1)-n®0 +^ql-ipl, n := 1 -a1 - ql -(0.6)

ключевые параметры модели, входящие в уравнения теоретических кривых деформирования, релаксации, ползучести и длительной прочности. Каждое из этих ограничений возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что свидетельствует о достаточно высокой степени внутренней согласованности модели. Например, первые три неравенства (0.5) совместно с возрастанием МФ F(x) необходимы и достаточны, чтобы скорость ползучести возрастала с увеличением напряжения, время разрушения убывало, а функция <j = <j(a,s), задающая теоретические кривые деформирования с постоянной скоростью a,

возрастала по обеим переменным [3]. Ограничения n1 < 0 и m0 < 0 обеспечивают убывание напряжения cr(t) при постоянной деформации и независимость предела ах при t -^<х> от начальной стадии деформирования (т. е. затухание памяти при релаксации) [1]. В п.2-6 будет

доказано, что условия (0.5) гарантируют существование степенной КП для мгновенного нагружения с показателем n е (0;1) и затухание памяти при ползучести.

Цель данной статьи - аналитическое обращение ОС (0.1), изучение свойств обратного оператора, вывод и анализ уравнений кривых ползучести, соответствующих произвольному закону нагружения на стадии перехода от нулевого значения напряжения к заданному постоянному уровню, исследование зависимости свойств КП от МП и доказательство независимости асимптотик КП при t -—оо от длительности стадии нагружения и конкретного закона изменения напряжения на ней (вывод условий затухания памяти при ползучести).

1. Действие реологического оператора R из (0.1) на степенные функции и функции с дифференцируемой степенной асимптотикой при t --+0 .

В дальнейшем будет неоднократно использовано следующее свойство ОС (0.1):

Лемма 1. Степенные функцииs(t) = atn, t > 0, a > 0, n е R,(11)

принадлежат области определения оператора R только при n > n*,(1.2)

гдеn* = max{n0,n1} в случае £ Ф 0 и n* = n0 в случае £ = 0,(1.3)

n0:=-a>0 - p_1, n1 := 1 -a1 - q-1.(1.4) причём оператор R переводит степенные функции (1.1) с n > n* в степенные функции

Y(t) = Qnsdtm = Qnadtm, t > 0,(1.5)

где m = dn + m0,m0:=P + £(a>1 -1)-^<э0 + £q--ПР- =P-£n +rjn0 ,(1.6)

Qn :=(x + H fq (P(n - n0)yp\q(n - щ))-**- > 0(1.7)

При d > 0 функция m(n) = dn + m0 возрастает. Если £ = 0 или x > 0, то Qn > 0 и из леммы 1 следует, что оператор R биективно отображает множество допустимых степенных процессов s(t) = atn, n > n*, на множество степенных процессов y(t) вида (1.5) с m > m*, где m* = dn* + m0. В этом случае легко построить обратное отображение к ограничению оператора R на множестве таких степенных процессов: если задана функция y(t) = btm, m > m*, b > 0, то из (1.6) можно выразить n = (m -m0)dl (если m > m*, то будет n > n*), вычислить Qn по (1.7) (n > n* > 0 влечёт Qn > 0) и найти a из условия Qnad = b .

Итак, оператор (0.1) переводит множество степенных функций вида (1.1) в себя. Это свойство сохраняется и для гораздо более широкого класса функций - функций с дифференцируемой степенной асимптотикой (ДСА-функций). Мы будем так называть функции, не только обладающие асимптотикой

s(t)~ atn при t — n > n*, a > 0,(1.8)

но и имеющие производную в правой окрестности точки t = 0 с асимптотикой S(t) ~ antn- .

Лемма 2. Оператор R из (0.1) переводит функции с дифференцируемой степенной асимптотикой (1.8) в функции с дифференцируемой степенной асимптотикой

Y(t)~ Qnadtm при t(1.9)

где показатель m и коэффициент Qn > 0 по-прежнему вычисляются по формулам (1.6) и (1.7)

Наличие при t — +0 линейной асимптотики s(t) ~ at, a Ф 0, равносильно тому, что s(+0) = 0 и существует ненулевая правая производная s(+0) = a. Дифференцируемость линейной асимптотики (ДЛА) равносильна тому, что s(+0) = 0, s(+0) ф 0 и s(t) непрерывна справа при t = 0. Поэтому из леммы 2 (при n = 1 и m > 1) вытекает

Лемма 3. Оператор R переводит любую ДЛА-функцию s(t) в дифференцируемую справа при t = 0 функцию y(t) с начальным значением у(0) = 0 тогда и только тогда, когда d + m0 > 1; при этом дополнительно у(+0) Ф 0 (т.е. m(1) = 1) лишь в случаеd + m0 = 1(110)