Из лемм 1 и 3 следует, что ограничение (1.10) необходимо и достаточно для того, чтобы оператор R переводил линейные функции s(t) = at в линейные функции y(t) ((1.5) с m = 1), а ДЛА-функции - в ДЛА-функции. В первом случае отношение квазинапряжения y(t) к s(t) не зависит от t: y(t) = E (a)s(t), где E = Q1ad-1 = ad-1(x +1)£/q (p(1 - n0))n/p (q(1 - n1))~£/q.

Для ДЛА-функций y(t) ~ Es(t) при t —»+0.

Ограничение (1.10) будем называть условием линейной инвариантности (УЛИ). Оно не является безусловно необходимым, но его целесообразно наложить на параметры модели по нескольким причинам. Во-первых, УЛИ служит регулятором асимптотики y(t) и cr(t) при t -+0 , во-вторых, оно упрощает уравнение теоретической диаграммы деформирования и процедуру идентификации F(x) по экспериментальной диаграмме a-s путём согласования её с

теоретической зависимостью a = F (Es) [3]; в-третьих, УЛИ облегчает исследование теоретической кривой ползучести, так как значительно упрощает её зависимость от параметров модели (см. п.2). Наконец, в п.4 будет установлено, что (1.10) играет ещё и роль своеобразного условия баланса свойств оператора R и ему обратного по отношению к асимптотике деформации s(t) и соответствующего квазинапряжения y(t) при t --+0 .

2. Кривые ползучести модели (0.1) при мгновенном нагружении.

Чтобы найти КП при мгновенном нагружении, нужно решить нелинейное интегральное уравнение (0.1) относительно s(t), считая, что a(t) = const, т.е. y(t) = const при t > 0. Благодаря лемме 1.1 это решение можно найти в классе степенных процессов

s = atn, n > 0, a > 0,(2.1)

потребовав, чтобы было y(t) = yc, t > 0, в (1.5), т.е. m = 0 и Qnad = yc. Отсюда

n = nc := -m0d- , a = ac := (yc Q-1 )1/d,(2.2)

где в силу (1.7) Qc := Q„c = (x + nq)£/q(p(nc - n()))nlp(q(nc - nj)-lq > 0 .(2.3)

Qc и nc не зависят от напряжения ac = F(yc) и материальной функции F(x). При разных ac

кривые ползучести подобны с коэффициентом a1 /a2 = (y1 / y2 )1/d .

При £ > 0 формула (2.2) выражает показатель степенной КП только в том случае, когда n > n*, так как формула (1.5) справедлива лишь при условии (1.2). Легко проверить, что n > n* автоматически следует из n1 < 0 и m0 < 0 (см. (0.5)). Кроме того, поскольку деформация материалов при постоянном напряжении не убывает с течением времени, следует наложить на МП ограничение n > 0 , т.е. m0d 1 < 0. Т.к. d > 0, оно равносильно условию m0 < 0.

Если m0 = 0 , то n = 0 и s=a =const , т. е. модель описывает материал без ползучести. При

n = 1 имеем ползучесть с постоянной скоростью: s= t . Если n >1, то скорость ползучести возрастает при всех t > 0, т. е. КП имеет только «третий участок» (такие экспериментальные КП встречаются у некотор^1х материалов при высоких уровнях напряжения). Если n < 1, то скорость ползучести убывает при всех t > 0, т. е. КП имеет только «первый участок».

Так как в начальной стадии ползучести скорость ползучести большинства материалов не возрастает, а убывает или остаётся постоянной, то на МП следует наложить ограничение

n < 1, т.е. -m0 < d(2.4)

Если налагается условие линейной инвариантности (1.10), то ограничение (2.4) выполняется автоматически, неравенство m0 < 0 равносильно условию d > 1, а показатель КП (2.2)

выражается формулой n = 1 -d 1 и не зависит от параметров p,q,P,at, входящих в формулу (1.6) для m0. Таким образом, в этом случае для существования степенной кривой ползучести с n е (0;1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия d > 1 и n1 < 0 (см. (0.5)).

Типичные экспериментальные КП, как правило, состоят из трёх характерных участков: на первом скорость ползучести убывает, на втором скорость ползучести примерно постоянна, на третьем скорость ползучести возрастает. В зависимости от материала и уровня напряжения один

или два из этих участков могут отсутствовать. Степенная КП (2.1) с n < 1 описывает только первый участок. Чтобы расширить область применения модели, в работе [12] предложено обобщение ОС (0.1), содержащее дополнительную (вторую) материальную функцию Ф(x) и позволяющее моделировать кривые ползучести произвольной формы.

3. Обращение определяющего соотношения в случае £ = 0

Чтобы вывести уравнение кривой ползучести, соответствующей произвольному закону стадии нагружения o(t) (т.е. стадии перехода от нулевого значения напряжения к заданному

постоянному уровню), нужно предварительно построить аналитическое обращение ОС (0.1). Это удалось сделать только в случае £ = 0, когда ОС (0.1) принимает вид:

a(t) = F (y(t)), где y(t) = Rs := s(t)atP[\(t(°0s{t))P dr(3.1)

В ОС (3.1) не входит явно скорость деформации S(t), и остаются только пять материальных параметров: a, p,r> 0, P,c0 - 0. Выражения для ключевых МП (0.6) и ограничения d > 0, m0 < 0, (см.п.2 и (0.5)) принимают вид: d :=a-r, m0 = P-r(c0 + pl) = P + rn0,(3.2)

a>n,P<r(®0 + P_1)(33)

Докажем, что, если a >r и МФ F (x) строго возрастает, то ОС (3.1) обратимо, и обратный к R оператор на множестве кусочно непрерывно дифференцируемых при t — 0 функций y(t) действует по формуле

s(t) = QrpAy(t)A[j(rfty(r)Afdr , t > 0,(3.4)

V 0J

где A :=a- > 0, /u:=r(a-r)- = rd- > 0, Q :=(1 -rAfP = (dAfp > 0, c :=c0 - JJA. (3.5) Так как a > r> 0, то ju> 0 и 1 -rA > 0 (поэтому выражение для Q имеет смысл и Q< 1).

Формула обращения (3.4) показывает, что обратный оператор R 1 имеет ту же структуру, что и R, с тем отличием, что показатели степени, в которые возводятся интеграл и множитель t перед ним, имеют противоположный знак по сравнению с (3.1).

Показатель а> может не быть положительным (и потому подынтегральная функция может иметь особенность в точке t = 0), но он, как и <э0, всегда удовлетворяет (при уже принятых

ограничениях m0 < 0, d > 0, J — 0) более слабому неравенству

cop +1 > 0, т.е. co>-p 1(3.6)

Действительно, при £ = 0 имеем rd l(co + p_1) = rd l(co0 - Pa1 + p_1) = -m0d 1 + Jal — 0, поскольку m0 < 0, d > 0, P — 0. Отсюда следует, что CO = - p 1 только тогда, когда m0 = 0 & P = 0, что равносильно P = 0 & r = 0 (модель (3.1) без интеграла). Таким образом, при r > 0 выполняется строгое неравенство (3.6).

Параметр w :=cop +1 и неравенство (3.6) будут играть в дальнейшем очень важную роль, как при обращении оператора (3.1), так и при выводе и анализе уравнения КП с произвольным законом нагружения (п.5). В частности, условие (3.6) - критерий сходимости несобственного интеграла (3.4) для любой ограниченной в правой окрестности точки t = 0 функции y(t).

t

p/r _

по

Докажем формулу обращения (3.4). Из (3.1) имеем: $(tc0s(t) fdr = (s(t )atP/y(t) )f . Дифференцируем

t:

(r°s(t) f = prl (sat Py-1 f p/r y-2 (y(asa-1StP + saJtP-1) - ysatP),

atyS + (Py-yt)s = p~lryl+p/rSl+p-ap/rtl+pCC0-pP/r . Таким образом, при t > 0 искомая функция s(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению БернуллиS + g(t)s = f (t)sk ,(3.7)

где к:= 1 + p - par1, g(t):= a- (jt--yy-1), f (t):=ra-p- yp/r tp(C0-p/r) ,(3.8)

0

y(t) - известная функция. Заменой y = sA, A := 1 -к= p(a - г)Г 1, уравнение Бернулли сводится к

линейному: y + Ag(t)y = Af (t). Его решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 0, имеет вид

t

y (t) = Av(t) j f (т)/ dт, где v(t) - какое-либо решение однородного уравнения y + Ag (t) y = 0, такое, что

0

v(t) * 0 при t > 0. v(t) = exp -Aj g(т>/т = exp[-Aa^ehit -lny(t))] = (y(t)te)Ala . Поэтому ttt

j f (т)/v(т) с1т = r(ap)- jyp/гт"(а0-в/r)+вA/aу-A/adт = r(ap)-1 jyp^^^т, где a :=a0 - вА, и

000

t

y = Ar(ap)1 t-A}/ayA/ajyp/aтpadт. Из (3.6) следует сходимость этого интеграла для любой ограниченной в

0

правой окрестности точки t = 0 функции y(t). Отсюда можно найти s(t) = yl1A лишь при A > 0 (иначе A1A не имеет смысла). Но первое из ограничений (3.3) как раз гарантирует, что A := p(a - )П 1 > 0 .

Итак, s(t) = (1 - ra_1)1/At-^у11"

jyp/aтpadт

0

1/A

Полагая jU := p / A, получим (3.4). □

В частном случае, когда в = ®0 = 0 и p > 1, обращение ОС (3.1) указано в [6] (без формулировки условий, при которых оно существует). В этом случае a = 0 в (3.4).

4. Некоторые свойства обратного оператора (3.4).

Операторы (3.1) и (3.4) переводят любую непрерывую при t > 0 функцию в непрерывную, а дифференцируемую - в дифференцируемую. В точке t = 0 это свойство может нарушаться. Выясним, при каких условиях оператор (3.4) переводит функции со степенной асимптотикой y(t) ~ btm, m > 0, при t -—+0 в функции s(t), такие, что s(0) = 0 (этого требует физический смысл s(t) ). Ответ на этот вопрос связан с корректностью модели, и получить его важно ещё и потому, что при построении обратного оператора (3.4) строилось решение дифференциального уравнения (3.7), коэффициенты которого, вообще говоря, сингулярны при t = 0.

Полагая, чтоу^) ~ btm приt -—+0, найдём асимптотику функции-образа (3.4):

(tЛм/p/

s(t) ~ Qt-^t"^ [ j^b^ У (1т =QbA(1+U)t(m-/?)A ((p(mA + a) +tp(mA+a)+1 )M P,

V 0J

т.е. s(t) ~ CtN, где C :=QbA(1+U) (pmA + pa +1) U/p > 0, а N выражается формулой

N := (m-в)A + u(mA + a) + ji/p = (m(1 + jU)-в)A + u(®0 -вА) + j/p = (a-)-1(m-в-Щ)). В силу (3.2)

N = (a-r)l(m - m0) = (m - m0)dl.(4.1)

s(t) — 0 при t — +0 тогда и только тогда, когда N > 0, т.е. m -m0 > 0 (так как d> 0). Отсюда следует, что условия d > 0 и m0 < 0 необходимы и достаточны для того, чтобы для любой функции y(t) с асимптотикой y(t) ~ btm, m > 0, при t — +0, функция-образ (3.4) стремилась к нулю при t — +0. Если выполняется строгое неравенство m0 < 0, то это верно и для m = 0 (см.п.2). Таким образом, ограничения d > 0 и m0 < 0, возникшие при анализе кривых ползучести в п.2 и кривых релаксации в [1], играют определяющую роль и в этом вопросе.

Следует отметить, что при m0 < 0 оператор (3.1), в отличие от обратного к нему оператора

(3.4), переводит функции со степенной асимптотикой s(t)~ atN при t — +0 в функции y(t), обращающиеся в нуль при t = 0, не при всех N > 0, а тогда и только тогда, когда N > nc, где nc :=-m0d 1 >0 - показатель кривой ползучести (2.1) (в самом деле, m > 0 в (1.6) только при n > maxjn., nc} , а в случае £ = 0 имеем n* = n0 < 0 ).