Как обустроить мансарду?



Как создать искусственный водоем?



Как наладить теплоизоляцию?



Как сделать стяжку пола?



Как выбрать теплый пол?



Зачем нужны фасадные системы?



Что может получиться из балкона?


Главная страница » Энциклопедия строителя

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

страница - 2

При m0 = 0 оператор (3.1) переводит положительные постоянные функции s(t) = a , t > 0, в положительные постоянные функции y(t) = b, b := Q0ad, функции с нулевым показателем N степенной асимптотики s(t) ~ a > 0 при t -—+0 - в функции этого же класса, а функции с положительным показателем асимптотики N - в функции с положительным показателем m . Естественно, что и обратный оператор (3.4) переводит указанные классы функций в себя.

Формулу (4.1) можно также вывести леммы 2 (п.1), утверждающей что оператор R из (0.1) переводит в себя класс функций с дифференцируемой степенной асимптотикой. Если ; = 0, то дифференцируемость асимптотики не требуется: оператор (3.1) переводит в себя множество всех функций со степенной асимптотикой (1.8) (при ; = 0 имеем n* = n0 < 0 в силу (1.3)). Поэтому этим же свойством обладает и обратный оператор (3.4), в частности, он переводит функцию y(t) с асимптотикой y(t) ~ btm, b > 0, при t -—+0 в функцию s(t) с асимптотикой s(t) ~ CtN, где N = (m -m0)d 1 в силу (1.6).

При m = 1 и N > 1 отсюда вытекает следующее свойство обратного оператора (3.4): для того, чтобы оператор (3.4) переводил любую функцию y(t), удовлетворяющую условию y(0) = 0 и имеющую ненулевую правую производную при t = 0, в дифференцируемую справа при t = 0 функцию s(t), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство d + m0 < 1.

В п.1 было установлено, что оператор R из (0.1) (в частности, оператор (3.1)) обладает аналогичным свойством при условии d+m0 >1 . Поэтому взаимно обратные операторы (3.1) и

(3.4) одновременно сохраняют выполнение начального условия f(0) = 0 и существование ненулевой правой производной в точке t = 0 (т.е. сохраняют наличие при t -—+0 линейной асимптотики f (t) ~ at, a Ф 0), тогда и только тогда, когда d + m0 = 1, т.е. выполнено (1.10).

Таким образом, условие линейной инвариантности (1.10) играет ещё и роль своеобразного условия баланса свойств оператора R и ему обратного по отношению к асимптотическому поведению деформации s(t) и соответствующего квазинапряжения y(t) при t -—+0 .

Ещё одно важное свойство обратного оператора (3.4) (оно окажется полезным, в частности, в п.6) - сохранение при его действии равномерной сходимости внутри интервала t е (0; +оо) параметрических семейств (в частности, последовательностей) функций: можно доказать, что оператор (3.4) переводит равномерно сходящиеся при v v0 внутри (0; +оо) семейства функций

yv(t) в равномерно сходящиеся внутри (0; +оо) семейства функций sv(t) = RTlyv (если

yv (t) -> y(t) при v -> v, то R-lyv (t) -> R-ly ).

5. Кривые ползучести для модели (3.1) с учётом начальной стадии нагружения.

При подстановке в формулу обращения (3.4) постоянной функции y(t) = yc, t > 0, получается

КП (2.1), соответствующая мгновенному нагружению до напряжения ас = F(yc). Подставим теперь в (3.4) функцию y(t) = F l(cr(t)) вида:

где функция <р(x), задающая стадию нагружения, - произвольная неубывающая на [0;1] кусочно-непрерывная функция, такая, что <з(0) = 0, <р{1) = 1 (из этих условий следует, что y(0) = 0, y(T) = yc и а(0) = F (0) = 0, a(T) = F (y) ). Тогда

где по (3.5) A :=al > 0, ц := rtfa - n)-1 =ldl > 0, Q :=(dA)M p =(ju + 1)~M p > 0, a :=a0 - вА;

y(t) = yc <<(t / T) при t е [0, T] и y(t) = yc = const при t > T,

(5.1)

при t е [0;

width=343

(5.2)

а при t > T, учитывая неравенство (3.6) и полагая w :=ap +1, получим:


у/p

f

где

$(тУМт/T)A)VdT + \(TyAc )Pdr

V 0Tу

= Q;rf1+/Vp + pt-pA (tcp+1 -BT fP =£l/l/dw~M/pt-pA+w//p (1 -BTt-wУ

T1

Фт :=J(r>(r/T)A)Pdr = (^Ta}p+1 =ФТ№,Ф := Jxpco<p(x)pAdx> 0.

с p+1

CO p +1

у/p

0

( с p + 1)Ф7

B«, := 1 - (cp + 1)Ф = 1 - wФ .

(5.3) (5.4) (5.5)

Так как w > 0 в силу (3.6), то для любых T и <р(x), описывающих стадию нагружения (5.1), верны следующие оценки для коэффициентов (5.4) и (5.5):

0 <Ф< xcpdx = (cp +

: W

0 < Bv< 1.

0 < BT < Tw

(5.6)

Условие (3.6) необходимо и достаточно, чтобы интеграл (5.4) (он будет несобственным в случае с < 0) сходился для любой кусочно-непрерывной на [0; 1] функции <р(x) (ибо

<р(x)pA <MpAxpCC), т.е. для того, чтобы была верна формула (5.3).

Выражение (5.3) можно переписать в виде:

s(t) = atn (1 - BTt-wУp = atn (1 - BVTW t-w , t > T

где n :=ju{a+ p~l)- J3A > 0, a :=Q-rf^ w~M/p = Qy1c/d w^pd > 0, Q = (dA)"p > 0

(5.7) (5.8)

При разных напряжениях ac = F(yc), но одинаковых BT, КП (5.7) подобны с коэффициентом

a1 /a2 =(r1/r2)1/d . Параметры (5.8) не зависят от T и функции <р(x), задающей нагружение (5.1), и совпадают с параметрами (2.2) КП (2.1) для мгновенного нагружения (при £ = 0). Как и подобает кривой ползучести, функция (5.7) возрастает при t>T, так как оба множителя положительны и возрастают в силу условий w > 0, BT > 0, /и/ p > 0, n > 0, a > 0, вытекающих из (3.3). Можно доказать, что для КП (5.7) с n е (0;1) скорость ползучести S(t) убывает и S(t) — 0 при t — 00. При n = 1 S(t) убывает, но S(t) — a > 0 при t — 00 (т.е. скорость ползучести практически постоянна при больших t), а КП (5.7) имеет асимптоту s = at.

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1.5

2.5

t/ t0

Рис. 1. Кривые ползучести (5.2), (5.7) при <р(x) = x и T = 1;0.75;0.5;0.25 и кривая ползучести (2.1) (T = 0) для модели (3.1) с а = 3 , n, p, Р,с0 = 1 (показатель КП n = 0.5 ) при одном и том же уровне напряжений ac = F(ус) , ус = 1.

0

1

0

0

1

2


Влияние функции ip(x) на КП (5.7) при t — T определяется только интегральной числовой характеристикой Ф (см. (5.4)). Для разных ср(x) с одинаковым значением Ф КП полностью совпадают при t — T. С ростом Ф (Фе (0; w_1) в силу (5.6)) коэффициент Bp убывает, и вся КП

(5.7) смещается вверх. Участки КП (5.7) и (5.2) непрерывно склеиваются при t = T для любой ср( x), такой, что ср(1) = 1 (тогда квазинапряжение (5.1) непрерывно при t = T ).

6.Равномерная сходимость семейства кривых ползучести (5.2), (5.7) при T — +0 к кривой ползучести для мгновенного нагружения и затухание памяти материалов.

Так как по (3.6) w > 0 , то кривая ползучести (5.7) имеет асимптотику

s(t) ~ atn при t — о(6.1)

Отсюда следует, во-первых, что КП (5.7) ограничена сверху только тогда, когда n = 0, т.е. m0 = 0

(см. (2.2)). В этом случае КП (5.7) имеет горизонтальную асимптоту s = a. Кроме того, из (6.1) следует, что КП (5.7) выходит при больших значениях t/T на КП для мгновенного нагружения (2.1). Последняя получается из (5.7) при BT = 0, т.е. при T = 0. С уменьшением T коэффициент

BT = B9>Tw убывает, а значение функции (5.7) при любом t — T растёт, т.е. вся КП (5.7)

смещается вверх (см. рис.1), оставаясь всё время ниже КП (2.1).

При T — +0 значения BT и s(T) = aTnp (т.к. n > 0 ) стремятся к нулю монотонно.

Можно доказать, что T-параметрическое семейство кривых ползучести (5.2), (5.7) (соответствующих одному и тому же уровню напряжения ас = F(yc)) сходится при T — +0 к

КП для мгновенного нагружения (2.1) равномерно на любом интервале t — r, где т> 0 (т.е. обратный оператор (3.4) сохраняет этот тип сходимости семейства функций (5.1) к постоянной).

Независимость асимптотики (6.1) кривых ползучести (5.7) при t — оо от конкретного закона изменения напряжения на любом фиксированном конечном интервале времени означает, что (при выполнении ограничений (3.3)) модель (3.1) обладает затухающей памятью при ползучести. Аналогичное свойство кривой релаксации модели (0.1) (при выполнении ограничений (0.5)) установлено в работах [1,2]. Такое определение затухания памяти модели или материала (при ползучести и релаксации) - более слабое требование, чем принятые в монографиях [4,5], но зато его выполнение может быть проверено в испытаниях материала.

7.Об обратной форме ОС (0.1). ОС (0.1) выражает напряжение в текущий момент через заданную историю деформации. Построить его аналитическое обращение на множестве всех кусочно дифференцируемых процессов s(t) удалось только в частном случае, когда £ = 0 (п.3). Обращение общего ОС (0.1) получено только на классе степенных и кусочно-степенных процессов (п.1, следствие леммы 1). Поэтому ОС (0.1) с £ф 0 пока плохо приспособлено к аналитическому описанию реологических процессов, в которых задаётся произвольная программа нагружения cr(t) Ф const и нужно найти деформацию s(t) . Приятное исключение -случай, когда cr(t) - кусочно-степенная функция, в частности, ползучесть при cr(t) = const (см. п.2). В других случаях получить точное решение s(t) нелинейного интегрального уравнения (0.1) с заданным cr(t) не просто. Конечно, остаётся возможность его численного решения (например, итерационными методами), либо приближенное построение решения, основанное на аппроксимации (в частности, интерполяции) заданного cr(t) кусочно-степенными функциями. Эти подходы требуют и заслуживают тщательного исследования и обоснования (для доказательства сходимости следует изучить в каких метрических пространствах функций и при каких условиях оператор R биективен, равномерно непрерывен, монотонен, дифференцируем и т. д.). Это направление весьма привлекательно для автора.

Но возможен и другой подход - видоизменить ОС (0.1) (конечно, постаравшись максимально сохранить его полезные свойства, обнаруженные ранее), переписать его в иной форме с целью приспособить именно к описанию процессов, в которых задаётся программа нагружения cr(t) и нужно найти деформацию s(t), в частности, к описанию различных эффектов при ползучести




содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

© ЗАО "ЛэндМэн"