F = -/Щ = -nkTa_ = 24PPUq1q2

Плотность потока тепла в направлении оси z определяется равенством

Jq (x) = J у - uz (x))( v - u(x))2fd 3v.

После линеаризации этого выражения и перехода к безразмерной молекулярной скорости получаем:

JQ =-P= f dx Jexp(-C2)Cz(C2 - -)h(x,C)d3C . Учитывая, что h = Czy(x,ju), имеем:

J Q =--p= J 1sh—a(1)-1

Q1 irr R J-0011

Используя (21) и переходя к безразмерным величинам, находим выражение для потока тепла

т 0 т Tq1q2(q1 - q2)

Jqq=-r1PU^qtqt-(25)

Массовая скорость газа определяется вторым равенством из (1),

согласно которому

1 1 f°° x Uz(x,) =- (a0 + a1x,) + T-/H exp(--)a(1)-1.(26)

В равенстве (26) коэффициенты определяются соотношениями (12), а функция a(1) - равенством (20). Представим равенство (26) в

явном виде

Uz(x) = глг U \ Y^T2x + q1q2(q1 - q2)[ 1 (x) -a0] - (q1 - q2)[ ,

Q(q1, q2) I KnJ

где

I ( x)

1 г°

2

exp

л/П>

X

b(n)dn

2nKn J sh(Vn/477Kn)

2

л/Л

Отметим, что если в формулах для макропараметров (23)-(26) положить а0 = 0, то полученные формулы в точности переходят в

соответствующие формулы, выведенные в [6] для случая почти зеркальных граничных условий.

Перейдем к исследованию предельных режимов течения. Рассмотрим случай глубокого канала, когда число Кнудсена Kn=l/2d<<1. При этом возможны два режима течения газа в канале.

Первый режим соответствует случаю, когда Kn<<q, q=max(q1,q2), или, что все равно, qd/l>>1. Из формул для макропараметров (23)-(25) вытекает, что

Jм =

qiq2

2jpd

d

(27)

JQ =

Отметим, что формулы (27) совпадают с соответствующими формулами из [6], выведенными в задаче Куэтта с почти зеркальными граничными условиями, а формула для силы трения в точности совпадает с классической формулой из [11].

Существует и другой режим течения газа, когда q«Kn«1. В этом случае из формул для макропараметров вытекает, что

Jм = -2pdU

F

2 л/ pUqx

iq2

(28)

Jq =-r° pU^^ qxq2.

Формулы (28) в точности совпадают с соответствующими формулами, выведенными для случая почти зеркальных граничных условий.

Таким образом, существует новый режим течения газа, когда выражения для макропараметров отличны от классических.

Обозначения:

f0 - абсолютный максвеллиан; n - концентрация молекул газа;

m - масса молекулы газа; T - температура; v - молекулярная скорость; C -безразмерная скорость молекул, k - постоянная Больцмана; h - линейная поправка к абсолютному максвеллиану; БГК

-Бхатнагар, Гросс, Крук (Bhatnagar, Gross, Krook); q1 и q2 -коэффициенты аккомодации тангенциального импульса молекул соответственно на нижней и верхней пластинах; Kn - число Кнудсена, JM - поток массы; Jq - поток тепла; F - сила вязкостного трения; n1, n2

-единичные векторы нормали к стенкам по направлению внутрь канала; Uz(x) - безразмерная массовая скорость в направлении оси z, uz(x) - размерная массовая скорость; H+(x) - функция Хэвисайда, H+(x)=1, x>0, H+(x) = 0, x<0; X(z) -- дисперсионная функция; 8 (x) -дельта-функция Дирака, Px-1 - главное значение интеграла от x-1; p -давление газа; 1 - динамическая вязкость; l - длина свободного пробега молекул; 2d - толщина канала; jM - плотность потока массы; Jq - плотность потока тепла; U - скорости движения пластин, ограничивающих канал. Индексы: c - непрерывный; M - масса; Q -теплота; z - проекция в направлении оси z.