Определяющее соотношение для реологических процессов с известной историей нагружения

Хохлов А.В. (khokhlov@imec.msu.ru )

Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Введение. В статье предлагается и исследуется нелинейное определяющее соотношение (ОС) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов в вязко-упруго-пластичных материалах в случае монотонного изменения напряжения s(t). Оно выражает деформацию e(t) через историю изменения напряжения s(r), 0 < т < t, и s(z) и особенно удобно для моделирования процессов, в которых задаётся программа нагружения s(t), в частности, различных эффектов, связанных с ползучестью (ползучести при ступенчатом нагружении, длительной прочности и т.п.). Деформация не предполагается малой и потому используется логарифмическая мера деформации e(t) := lnl(t)/1(0) . В дальнейшем будем считать (безразмерное) напряжение s(t) неубывающей кусочно-непрерывно дифференцируемой положительной функцией (безразмерного) времени t > 0. Соответствующая деформация e(t)

строится в виде результата композиции трёх независимых нелинейных операторов /, Р и g, действующих по схеме s(t) a cr(t) a s(t) a e(t):

a(t) = f(s(t)), s(t) = Ра , e(t) = g(s(t)), где Ра := Vo(tfteSq^\o,6L^T" , (0.1) V,a,в,p,q, ca0,a1,- материальные параметры (они могут зависеть от температуры), f(x) и g(x), x > 0, - материальные функции (пока произвольные неубывающие кусочно-непрерывно дифференцируемые положительные функции; в дальнейшем будет показано, что их можно определить по экспериментальным кривым ползучести и диаграммам деформирования материала). На материальные параметры (МП) налагаются минимальные априорные ограничения технического характера: V,а,p,q > 0, %g \0;1]. Необходимые дополнительные ограничения (0.7) на МП, обеспечивающие качественно верное моделирование характерных особенностей механического поведения материалов (типичных свойств кривых деформирования, ползучести, релаксации, длительной прочности), будут выведены в дальнейшем.

Функцию cr(t) будем называть квазинапряжением, поскольку текущее значение cr(t) связано с напряжением s(t) в тот же момент функцией f . Реологический оператор Р отображает историю нагружения а(т), 0 < т < t, в квазидеформацию s(t), по которой находится деформация e(t) = g(s(t)). В определение Р входят интегральные операторы Lp ш^ и Sq х ^ , отображающие сг(т) в следующие функции переменной t > 0:

Л1/p(tл1/q

(0.2)

и Sm\a,&]:=\\Tq (xa(T)q + (1 - x)\т&^т)^ )ёт

V 0У

Они задают семейства снабжённ^хх специальными весовыми множителями норм (квазинорм при p, q g (0;1)) пространств Лебега Lp [0; t] и Соболева Wlq [0; t], зависящих от параметра t > 0.

Параметр x g \0;1] позволяет регулировать относительную величину вкладов а(т) и сг(т) в значение оператора Sq \сг,сг]. Множитель т обеспечивает справедливость леммы 1, на которую

опирается вывод уравнений кривых ползучести и релаксации. Степенные множители т^1, т^0 и tв, не нарушая леммы 1, позволяют регулировать показатели асимптотики функций y(t) при t — +0 и t — ее и моделировать эффект затухания памяти материала (при coi > 0 ), т.е. обеспечить

независимость асимптотик теоретических кривых релаксации и ползучести при t — е от конкретного закона изменения деформации (или напряжения) в стадии перехода от нулевого до

заданного постоянного значения на любом конечном интервале времени. Такое определение затухания памяти (модели или материала) [1,2] - более слабое требование, чем принятые в монографиях [3,4], но зато его выполнение может быть проверено в испытаниях материала.

Цель введения в ОС (0.1) оператора SqZ&i, явно учитывающего скорость нагружения, -

моделирование вязко-упруго-пластичных материалов, обладающих высокой чувствительностью к скорости нагружения, в частности, углеродных и керамических материалов при высоких температурах. ОС (0.1) представляется перспективным для описания поведения металлов и сплавов в состоянии сверхпластичности. Сверхпластичность - способность материалов к очень большой пластической деформации в условиях сильной зависимости напряжения течения от скорости деформации, которая, как правило, наблюдается у металлов и сплавов с мелкозернистой структурой при достаточно высоких температурах [5]. Некоторые авторы рассматривают сверхпластичность как особый вид ползучести [6]. Положив £ = 0, можно исключить Sq%0h из ОС.

ОС (0.1) сконструировано аналогично предложенному в работе [7] соотношению

s(t) = F(<j(t)), <т(0 = Rs, где Rs := s(t)ate S^ss]£ LpiBo[s] n , t >0,(0.3)

где a,p, q > 0, £,//, в,Z> 0, co0,a1 >-1. МП ОС (0.3) имеют другой физический смысл по

сравнению с ОС (0.1) (в частности, комбинации параметров, отвечавшие в ОС (0.3) за ползучесть, будут отвечать в модели (0.1) за релаксацию, и наоборот - см. п. 2,4).

Основная идея - поменять ролями cr(t) и s(t) в ОС (0.3), сохранив структуру оператора R, изученного в [1,2,7-9] и хорошо зарекомендовавшего себя в моделировании реологических процессов с известной историей деформирования, и выяснить при каких (новых) ограничениях на МП ОС (0.1) оно наследует ценные свойства ОС (0.3), обнаруженные ранее. Уверенность в том, что эти полезные свойства сохранятся при перемене ролей cr(t) и s(t), основана, в частности, на

доказанном в [1,2] утверждении: при £ = 0 и d > 0 обратный оператор R 1 является интегральным и имеет в точности такую же структуру, что и оператор R, т.е. в этом случае точное обращение ОС (0.3) имеет как раз вид (0.1), где P = R-1, f = F_1, g(x) = x (в других случаях точное обращение ОС (0.3) на множестве всех кусочно-дифференцируемых процессов (t) получить не удаётся). В дальнейшем при сопоставлении свойств ОС (0.3) и (0.1) их параметры, играющие одинаковую роль в конструкции операторов Р и R, будем обозначать одними и те ми же буквами, но со штрихами в случае ОС (0.3).

Помимо перемены ролей cr(t) и s(t) в ОС (0.1) есть существенное нововведение по сравнению с конструкцией ОС (0.3): в ОС (0.3) входит только одна материальная функция F, а в ОС (0.1) добавлена вторая МФ g. Точнее, МФ G(x), преобразующая деформацию e(t) в квазидеформацию s = G(e(t)), введена в ОС (0.3) в работе [9], чтобы получить возможность моделировать все типы кривых ползучести (КП), наблюдаемые в экспериментах, а не только степенные (при G(x) = x, т.е. e = s, теоретическая КП модели (0.3)имеет вид s = a(<j)tn, n < 1 [7,2], и потому описывает только ползучесть с убывающей скоростью). Введение второй МФ G даёт дополнительную степень свободы в описании результатов испытаний материала и позволяет адекватно моделировать материалы с КП произвольной формы (в том числе тех, механические свойства которых существенно зависят от времени в силу нарастания повреждённости или структурных превращений). В частности, это позволяет моделировать ограниченную ползучесть и получать ТКП, имеющие все три характерных участка: замедляющейся, установившейся и ускоряющейся ползучести [9,8]. Эту же роль будет выполнять в ОС (0.1) МФ g (см. п.2,3). Она определяется из условия совпадения ТКП (2.1) с экспериментальной КП.

ОС (0.3) является обобщением предложенного в работе [10] соотношения

a(t) = F(Y(t)), y(t) = Asa\ t в Js(r)p dz , //> 0 , a,p > 1, ве[0;1],(0.4)

которое было получено из модели Фицжералда [11] путём введения МФ F и множителя t~в. В статьях [10,11] приведено сравнение результатов расчетов по этим моделям-прототипам с данными экспериментов, показавшее их применимость к описанию некоторых аспектов поведения

таких материалов, как твёрдое топливо и асфальтобетон. Это мотивирует систематическое изучение их обобщения (0.3) и ОС в обратной форме (0.1).

Наличие девяти материальных параметров и МФ F(x) в ОС (0.3) предоставляет, как показано в [1,2,7-9], более широкие возможности по управлению свойствами модели и по её настройке за счёт выбора значений МП с целью адекватного и всестороннего описания поведения реономных материалов. ОС (0.3) позволяет (в случае монотонных процессов деформирования (t)) описывать не только отдельные реологические эффекты, но и целый их комплекс: релаксацию, ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность, затухание памяти материала, зависимость напряжения от деформации и её скорости (СД), зависимость "модуля упругости" при малых деформациях от СД. Оказалось, что, несмотря на сложность структуры ОС (0.3), можно довольно далеко продвинуться в его исследовании аналитическими средствами, не прибегая к замене строгих доказательств результатами численных экспериментов. В статьях [1,2,7,8] при любых допустимых значениях МП выведены уравнения теоретических кривых релаксации, кривых ползучести (КП) и кривых длительной прочности, аналитически исследована зависимость их свойств от МП и МФ F. Из общих качественных механических свойств материалов, наблюдаемых в опытах (возрастание напряжения с ростом деформации и СД, возрастание деформации при ползучести с течением времени и с повышением напряжения, убывание кривой длительной прочности, убывание напряжения при релаксации, затухание памяти материала и т.п.) выведены необходимые и достаточные (для обеспечения этих свойств у теоретических кривых) дополнительные ограничения на МП ОС (0.3):

d > 1, m0 < 0, d + m0 > 0, n0 < 0, n1 < 0,(0.5)

где d := a+ £-//, m0 := в + rin0 -£n1 , n0:=-co0 -p_1, n1:=-m[ - q-1 -(0.6)

ключевые параметры модели (0.3), входящие в уравнения теоретических кривых деформирования, релаксации, ползучести и длительной прочности.

Примечательно, что каждое из ограничений (0.5) возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что свидетельствует о достаточно высокой степени внутренней согласованности модели (0.3). Например, ограничения n1 < 0 и m0 < 0 обеспечивают убывание напряжения с течением времени при постоянной деформации и затухание памяти при релаксации, т.е. независимость предельного напряжения аш при t -—оо от длительности и закона начальной стадии деформирования [7]. Эти же условия необходимы и достаточны для существования степенной теоретической кривой ползучести. В [2,8] показано, что первые три ограничения (0.5) совместно с требованием возрастания МФ F(x) необходимы и достаточны, чтобы модель (0.3) имела затухающую память при ползучести, чтобы скорость ползучести возрастала с увеличением напряжения, а функция а = а(a,s), задающая теоретические диаграммы деформирования с постоянной скоростью a , возрастала по обеим переменным.

Цель данной статьи - вывод и анализ уравнений кривых релаксации и ползучести модели (0.1) (при постоянном и кусочно-постоянном напряжении), выявление необходимых ограничений на МП ОС (0.1), обеспечивающих качественно верное моделирование типичных особенностей механического поведения широкого класса материалов, т.е. ограничений, играющих ту же роль, что и неравенства (0.5) для «обратного» ОС (0.3). Будет доказано, что эти ограничения имеют вид:

0 <d < 1, N > 0, д0 < 0, д <0, -d/N>m,, a> 0, £> 0, r< 0(0.7)

где d :=a + £-r, N :=в + ГМ-£-"1, M0 :=-®0 - P_1, M :=-»! - q_1, m, = maxf/^, д}. (0.8) Здесь d - степень однородности оператора Р (п.1), N - формальный аналог m0 из (0.6), но физические смыслы у них разные: m0 - показатель кривой релаксации модели (0.3) [7], а N -показатель кривой ползучести модели (0.1). Роль параметров д выяснится в п.1,2.

Это шаг к стратегической цели автора: исследовать математические следствия ОС (0.1), чтобы указать те реологические эффекты, которые оно может (или не может) адекватно описывать, обнаружить возможную зависимость между этими эффектами, чётко сформулировать характерные свойства материалов, для моделирования поведения которых ОС (0.1) пригодно, указать