Как обустроить мансарду?



Как создать искусственный водоем?



Как наладить теплоизоляцию?



Как сделать стяжку пола?



Как выбрать теплый пол?



Зачем нужны фасадные системы?



Что может получиться из балкона?


Главная страница » Энциклопедия строителя

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

страница - 0

Представление N - кратных сверток функций распределения в виде рядов и нахождение функции восстановления для некторых

моделей процессов восстановления

В. И. Вайнштейн (weinshtein@fivt.krasn.ru)

(Красноярский государственный технический университет)

1. Модели процессов восстановления и интегральные уравнения для функции

восстановления

В теории надежности простым (обычным) процессом восстановления называется последовательность неотрицательных взаимно независимых случайных величин Xn, имеющих одну и ту же функцию распределения F(t). Если же функция распределения первой случайной величины X1 имеет распределение отличное от F(t), то имеем общий (запаздывающий) процесс восстановления. Случайные величины Xn - наработки элемента от n-l-го до n-го отказа [1]. Здесь предполагается, что восстановление элемента происходит мгновенно.

Важную роль в теории и приложениях теории надежности имеет функция восстановления H(t) - математическое ожидание числа отказов за время от 0 до t

да

H (t) = 2 F(n)(t),(1)

n=1

где F(n)(t), - n-кратная свертка функций распределения F1, F2,..., Fn.

F(1) (t) = F (t), F(2) (t) = (F * F2 )(t) = J F(t - x)dF2 (x),

0

F(n)(t) = (F(n-1) * Fn )(t).(2)

Функция восстановления H(t) удовлетворяет интегральному уравнению

t

H (t) = F1(t) + J H (t - x)dF1( x)(3)

0

для простого процесса и

t

H (t) = F (t) + J H (t - x)dF2 (x)(4)

0

для общего процесса восстановления.

Явный вид функции восстановления имеется лишь для некоторых функций распределения [1]. Например, для экспоненциального, Эрланга, равномерного. Для нормального, Вейбулла -Гнеденко, Гамма-распределения имеются представления в виде рядов.

Предположение о равенстве функций распределений наработок элементов обедняет сферу приложений теории восстановления.

Рассмотрим две модели процесса восстановления [2].

Пусть Fn(x) - функции распределения случайной величины (наработок) X n. Если

F (t) = F (t),i > к,

то имеем общий процесс восстановления к-го порядка.

ЕслиFi (t) = Fj (t), i = j (mod к), к > 2,

то имеем периодический процесс восстановления к-го порядка.

Примером периодического процесса восстановления второго порядка может служить альтернирующий процесс восстановления, когда учитывается время восстановления элементов.


Если F(t) - функция распределения наработок элементов до отказа, G(t) - функция распределения времени восстановления элементов после отказа и

f G(t), n - четное

F (Х) =}F (t)

[F (t), n - нечетное,

то имеем периодический процесс 2-го порядка с последовательностью функций распределения:

F(t),G(t), F(t),G(t), F(t),G(t), ...

У общего процесса восстановления к-го порядка последовательность функций распределения имеет вид

F^t), F2(t ),..., Fk-x(t), Fk (t), Fk (t),....

Можно рассматривать альтернирующий процесс восстановления к-го порядка, когда время наработок и время восстановления образуют процессы восстановления к-го порядка.

В этом случае среднее число отказов H0(t) является функцией восстановления общего процесса восстановления к+1-го порядка, задаваемого функциями распределения

0,(t) = Ft(t)t02(t) = (G * F2XO,.., Фк (t) = (Gk- * Fk )(t),Ok+1(t) = G * Fk )(t),...(5)

а среднее число восстановлений H1(t) является функцией восстановления общего процесса восстановления к-го порядка, задаваемого функциями распределения

Ч (t) = (F * G„ )(t).(6)

В случае общего процесса восстановления к-го порядка H(t) удовлетворяет интегральному уравнению

t

H (t) = G(t) + J H (t - x)dFk (x)(7)

0

G(t) = 2 F(n)(t)-((^ F(n) ^* Fk ^(t), a для периодического процесса к-го порядка

H (t) = 2 F(n) (t) + J H (t - x )dF(к)(x),(8)

n=10

Пусть HF(t) - функция восстановления простого процесса, задаваемого наработками Xn с функциями распределения Fn(t) = F(t), HF4(t) - функция восстановления общего процесса 2-го порядка, задаваемого наработками Xn с функциями распределения F1(t) = F(t), Fn(t) = *¥(t) при n > 2.

Имеет место представление функций восстановления для общего процесса восстановления к-го порядка

H (t) =2 F(n)(t) + J HFk (t - x)dF(к-1)( x),(9)

n=10

для периодического процесса к-го порядка

H (t) = 2 HF(n) F(k )(t).(10)

n=1

Таким образом, функцию восстановления рассматриваемых моделей можно находить либо по определению через сумму ряда (1), либо решая соответствующие им интегральные уравнения (7), (8), либо использовать представления (9), (10).

Но во всех случаях требуется вычислять свертки функций распределений.

Заметим, что если N(t) - количество отказов за время t, то

P( N (t) = к) = F{к) (t) - F(к+1) (t).


2. Представление сверток функций распределения в виде кратных рядов

Рассмотрим представление сверток любого порядка в виде кратных рядов, используя разложения в ряды функций распределения, входящих в свертки.

ПустьF(t) = Tcufu(t), * >1(11)

j=o

00

F(0 = YcC,JL (t), * > 1.(12)

j=o

Будем предполагать что ряды (11) сходятся равномерно на любом промежутке [0,7], а ряды (12) равномерно на [s,7] для любого s>0, а в нуле могут иметь интегрируемую особенность.

Заменяя в свертках функции распределения соответствующими рядами (11) и (12) и почленно интегрируя, приходим к выражению k-кратной свертки через k-кратный ряд:

F(2)(t) = (F *F2)(t) = j-x)dF2(x) = j\ Zch f j(t-x)

00 V j=0

dF2(x)

00t00tt00

= Z C1,j j f1, j (t - X)dF2 (X) = Z C1, j j f1, j (t - X)Z C2,m (X)df2,m (X)

j=0 0j=0 0m=0

00 00t00 00

= ZZ C1, j C2m j f1,j (t - X)df2,m (X) = ZZ C1, j C2,m (f1, j * f2,m )(t)

j=0 m=00j=0 m=0

(000000

= ZZC1,«1 C2,"2 f2 (t) = Z C"2 f"2 (t)?

щ=0 «2 =0«2=0

C(2) _ ^ ^y"(2)

По индукции получаем

"2 = {"1,"2/, c"2) = C1,„1 C2,„2, f"22)(t) = (fu *f^Xt).

00

F(k)(t) = Z ^ f? )(t).(13)

"k=0

Здесь

"k=("1, "2,^, "k), c%} fi с, ff (t)=* fk,k )(t), =f1,"1 (t),

/=1

00 0

0

Z c"k)=ZZ • • • Z c1,"1 c2,"2 - • ck"k,(14)

"k=0"1=0 "2=0 "k=0

где (14) - k-кратный ряд.

Рассмотрим случай, когда

f,j (t) = tP,]+a,0, > 0, a, > 0.(15)

Для экспоненциального распределения

PL - e~*, t > 0

F (t)

[0, t < 0, (t) = Z (-1)j+1 V, д= 1, a= 0.

F (t) =

Для распределения Вейбулла - Гнеденко




содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

© ЗАО "ЛэндМэн"