= Z Zr +"+1 Ar в B( f2F + 1 Д (" + 1))t f2r + в( =

"ZZ( ) ef("+1)e2e2F"!r(e2r +1)"

r=1 "=0

= z Z r+"+1_AF]вr( fr+1)r( f ("+1))_t +в("+1) =

tr z е1в("+1)е2в2Г"! r( в2 r+1)r( f2r+1 + f ("+1))

1(2)

в A(2)r(T") t1 £ e^e^Tf r+1+-1)!

Окончательно получаем

H(t) = 1 - + ZZ ZZ (-1)r+"-2 Д Ar(2)r(f1" +1) t( f"+f)(28)

6. Функция восстановления простого процесса восстановления, если наработки

распределены по закону Максвелла

Функция восстановления для простого процесса удовлетворяет интегральному уравнению (3):

t

i +

0

H (t) = F (t) + j H (t - x)dF (x).(29)

Для распределения Максвелла

f (t) = (-1) "-1 -г-гст*(30)

4h3 012"+1h2("-1)

F(t) =(-1)"-1(2t+ h((31)

л/ж "=1(2" +-1)!

Будем искать H(t) в виде

да

H (t) = Z Ckt2k +Z 2k-1.(32)

Подставим (32) в интеграл из уравнения (29):

t4h3 да даh2("-1)

j H (t - z)dF (z) = ^ Z Ck Z (-1) "-1j (t - z)2k z 2"dz +

0Vn 1=1 "=1("-1)!J0

+ 4hLZZ 5 Zh2("-1) j (t - z)2k-1 z2ndz = = 4h^Z C ZZ -1 h2("-1)r(2k + 1)r(2" + 1)t2k+2"+1 +

^Z k Z 1 (" -z) z z л/Ж^^ k Z( ) r(2k + 2" + 2)(" -1)!

= 4hL ZZ B ZZ "-1 h2("-1)r(2k)r(2" + 1)t2k+2" = 4hf_ Z 12s+1 ZZ "-1 h2("-1)r(2k + 1)r(2" + 1)C jnt! kZr(2k + 2" +-1)!VnjZ2r(2s + 2)kZs,(("-1)!k

k >1, ">1

£Z (-1)"-1h+1)Bt(33)

Vn s=2 r(2s +1) k+"=s,(" -1)!

k >1, ">1

Здесь поменяли порядок интегрирования и суммирования и провели интегрирование. Подставляя (31), (32), (33) в интегральное уравнение (29) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, определяем неизвестные коэффициенты Ck и Bk:

дадаai,3 f да^2(k-1)

k=1 k z k Mtr (2k+1)(k-1)!

+ ZZ t2k+1 ZZj-1 h2(r(2i + 1)r(2j + 1)Ct2k ZZj-1 h2(r(2i)r(2j +1) R

h r(2k + 2) i+j=k1 (j-1)! 1h r(2k +1) i+j=k1 (j -1)! 1 j

i>1,i>1,

j>1j>1

CO

2k2k—1 4h3 л.к h2{k—2) 2k—1 ^ t2k—1h2(1—1)Г(2к — 2 —1)Г(2 + Г>

Yctt2k +УBkt2k 1 =-=! у(—1)k-12k 1++У-У(—1)71---—-C, 1 +

-и У(—1)-^ ++У-У(—1) —--

+ у t2 у (——1 h2(l—1) H2k — 27 )Г(27 +1) B ^

При k = 1C1 = 0, B1 = 0.

k=2 T(2k +1) <й(7 — 1)!

1B1

k—l

4h3

При k = 2C2 = 0, B2 =

При k = 3 C = 4h3 у( 1 h2^l—1)Г(6 — 27)Г(27 +1) B B = 4h5 + 4h3Г(3)Г(3) Г(7)л/n 7=1(7 — 1)!Wn Г(6)л/ n

i=1

1k—1

По индукцииCk = 1 y^k — 27)e(l)Bk—i, k > 2,

T(2k +1) 1=1

+1) l=1

4h +11 k—4

Bk =(—1)W1)(k—2)! +n2k)Уr(2k—27—1)e(l)Ck—1—1- k >2.

Pl,)=(—1)7—14h 2"Г(27+1).

лП(7 — 1)!

Неизвестные коэффициенты функции H(t) из формулы (32) определены.

7. Функции восстановления H0(t) и Hj(t) альтернирующего процесса восстановления

при экспоненциальном распределении

Рассмотрим общий альтернирующий процесс 2-го порядка, когда времена наработок и восстановления распределены по экспоненциальному закону

F (t) = 1 — е~at, О, (t) = 1 — е- Pit.

В соответствии с (5), (6), (9) запишем представление функции H0(t) и Hi(t):

t

H,(t) = F(t) + (F1 * (О1 * F2))(t) + jH(О2 * F2)(t — x)d(F * (О1 * F2))(x),(34)

0

H1(t) = (F1 *01)(t) + jH(О2 *F2)(t — x)d(F1 *О1)(x).(35)

0

В обоих случаях требуется найти функцию H(G2*F2)(t), которая удовлетворяет интегральному уравнению

HG * F2)(t) = (G2 * F2XO + jH{G2 *F2)(t — x)d(G2 * F2)(x).(36)

0

Применим к обеим частям интегрального уравнения (36) преобразование Лапласа -Стилтьеса:

F *(s) = j esxdF (x).

0

Учитывая, что

(F * GУ» = F\s)G»(37)

(1 — е а)*(s) = —(38)

а + s

получаем H *(s) = G2*(s) F2*(s)+H *(s)G*2(s)F^(s), H *(s) = H *(G2 * F2)(s).

тт*, ч G2(s)F*(s)а2в2

H (s) =-2У 2 У =-2-^-.(39)

W 1 — G2(s)F2(s) s(s + (а2 + 02))( )

Для нахождения H0(t) применим к обеим частям (34) преобразование Лапласа - Стилтьеса с учетом (37), (38), (39):

= а1 +а1а2в1+а^в2в1а1

s + а1 (s + + а2)^ + в1) s(s + (а2 +в2))(5 + а1)(* + а2)^ +в1) Пусть H (s) преобразование Лапласа:

да

H(s) = J e stH (t)dt.

0

Из формулы преобразования Лапласа производной, с учетом H(0) = 0, получаем связь между преобразованиями Лапласа - Стилтьеса и Лапласа:

H (s) = H-(S).(40)

s

Пусть а1 Фа2 Ф в1 Фа2 +в2, тогда точки s = -а1, s = -а2, s = -в, s = -(а2 + в2) являются полюсами первого порядка для функции H0 (s) , а точка s = 0 - полюс второго порядка.

Для нахождения H0(t) воспользуемся формулой для обратного преобразования Лапласа дробно рациональной функции H0( s) [5]:

H0 (*) = 2 77J^llin ((s - sk )h H0 (s)est).(41)

Здесь sk - корни знаменателя с кратностями lk. В результате получаем

H0 (t) =t + k1(1 - e-**) + k2(1 - e-в*) + k3(1 - eЧа),(42)

к = 1 +а2в1(в2 -в1)к =а1а2(в1 -в2)

а1(в1 -а1)(а1 -а2 -в2)в1(а1 -в1)(а2 +в2 -в)

ко

(а2 + в) (а2 + в2 - а1)(а2 + в2 - в1)

H1(t) находим аналогично H0(t). Применяем к обеим частям (34) преобразование Лапласа Стилтьеса.

H* (s) = F; (s)G* (s) + H»F* (s)G* (s) = а1в^ ч +а1а2в1в2

(s + + s(s + а2 + в2)(s + а)^ + Переходя здесь в соответствии с (40) к преобразованию Лапласа и находя обратное по (41), получаем

H1 (t) = а2в2 t + Q(1 - e^1*) + C2(1 - ) + C3(1 - e~(а+в)t),(43)

а2 +в2

C = в1(а1 -в2)(а1 -а2)C = а1(в2 -в1)(а2 -в)

а1(Д - а1)(а2 - а1 - А) Д(а1 - в1)(а2 + в2 - в1) C =_а1а2вв2_

(а2 + в2) (а2 + в2 -а1)(в1 -а2 -в2)

Рассмотрим случай а1 =а2, в1 = в2, что соответствует обычному альтернирующему процессу восстановления с экспоненциальными распределениями. Полагая в (42),(43) а1 = а2, в1 = в2, получаем

H0(t) = ав-1 + ( ап )2 (1 - e-а+в)*), H1(t) = аав-1 + ( ав (1 - e-(а1+в1)*). а +в+в1)2а1 +в+в1)2