8. Функции восстановления H0(t) и Hj(t) альтернатирующего процесса восстановления, если время наработок и время восстановлений распределены по законам Вейбулла -

Гнеденко

Рассмотрим функции распределения времени наработок и времени восстановления в

виде (17)

F (t) = F1(t), G (t) = F2(t).

Функции H0(t) и H1(t) удовлетворяют интегральным уравнениям

t

H(t) = (F * G)(t) + J H1(t )(t - x)d (F * G)(x),(44)

0

t

H>(t) = F (t) + J H,(t )(t - x)d (F * G)( x).(45)

Будем искать H1(t) в виде

да даA t +в2Г2

н1(*)=22 (-1) r1+r2 -2---в—в-.(46)

Аналогично (19) вычисляем свертку

t

(F * G)(t) = J F(t - x)dF2(x) = 0

=22 j г(вli++1) tв1п+в2Г2(47)

£ j=C +в2Г2 + 1)@в1Г1"

Подставляем свертку (47) и функцию (46) в интеграл в уравнении (44), аналогично (19) получаем

да да* в1s1+в2s2

*да да

J H1(t - x)d (F * G)( x) = 22(-1) s1+s2в я

st=2st=2Г(вЛ +в2 s2 + 1)©Г © 2

V V Anr2 Г (в1 i + 1) Г (в2 j + 1)(48)

Г + i = s1 Г2 + j = s 2 Г[,, >1 Г2, j >1

i! j!

Подставляем функцию (46), свертку (47) и интеграл (48) в уравнение (44)

2222s1+s2 _As1s2 *_ =2222 (-ft s1 +s2Г(в1S1 + 1)Г(в2 s2 + 1)* As1 + A2s2 +

Г(вЛ +в2 s2 + 1)©fsl ©f2 Ы£ Sl!s2!Г(вlSl +/2s2 + 1)©fs1 ©f2

+2 22 sl+s2 tх 2 22 Л, па+пгха/+1) (49)

r1,i>1 r2> j>1

Пусть

= Г Ш + 1)Г(в2 n2 + 1) n1n2I I

Приравнивая в (49) коэффициенты при одинаковых степенях t, определяем неизвестные коэффициенты A :

As1s2 = Bs1s2 при sl = 1 s2 = 1,2,." , sl = 2 s2 = 1

Asis2 = Bs,s2 +22 Asi-1s2-1B j , при si > 2, s2 > 2.

i=1 j=1

Учитывая, что H0(t) является функцией восстановления общего процесса восстановления второго порядка, для ее вычисления воспользуемся представлением (9):

t

H0 (t) = F (t) + J Hl( F * G)(t - x)dF (x).(50)

x

Подставив найденную функцию Hi(t) в (50) и проведя интегрирование, получим представление искомой функции Ho(t).

t в

00 00A* „vv 1л^1Г(Дп +1)

—I — Iсо адAсо

ri +Г2r1r2х V (—1) "+1 _ \Н1"^Ч_t вЧ + вЛ + вп =

^ Щà © f2 П=1 ©Г ПГвч +Рг r2 +РП +1)

= 1 — е к Ul 1 +

, У ( 1) ,+1х^ ( 1) Г2^у Г(ДП + 1) ^

Г1,П>1

Литература

1.Байхельт, Ф. Надёжность и техническое обслуживание. Математический подход./Ф. Байхельт, П. Франкен. М.: Радио и связь, 1988. 392c.

2.Вайнштейн, И. И. Прикладная математика: учебное пособие /И. И. Вайнштейн. Красноярск, 1993. 114 с.

3.Смирнов, В. И. Курс высшей математики: Т.3. Ч.2 /В. И. Смирнов. М.: Наука, 1974. 672 с.

4.W. L. Smith, M. R. Leadbetter On the Renewal Function for the Weibull Distribution. Technometrics. V. 5, 1963. P. 393-396.

5.Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного /М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М., 1971. 736 с.