Как обустроить мансарду?



Как создать искусственный водоем?



Как наладить теплоизоляцию?



Как сделать стяжку пола?



Как выбрать теплый пол?



Зачем нужны фасадные системы?



Что может получиться из балкона?


Главная страница » Энциклопедия строителя

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

страница - 0

Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося

материала

Ежов Г.П., Кондауров В.И. (vk@mipt.ru)

Московский физико-технический институт

В линейной теории упругости задача об изгибе была рассмотрена Сен-Венаном (1856) в знаменитом мемуаре «Об изгибе призм». При построении решения использовался полуобратный метод, основанный на том, что некоторые деформации «угадываются», а для оставшихся деформаций получаются уравнения, доступные рассмотрению. Этот метод обобщается на случай нелинейного повреждающегося материала [1-3]. В отличие от традиционных подходов к описанию рассеянного разрушения [4-7] используется уравнение кинетики поврежденности, согласованное с ростом эффективной поверхностной энергии микротрещин и диссипацией энергии в процессах рассеянного разрушения. В итоге задача сводится к начальной задаче для двух обыкновенных дифференциальных уравнений, требующих численного решения. Для описания макроразрушения приповерхностного слоя материала использовано условие Адамара [8,9], которое рассматривается как критерий прочности, связанный с реологической неустойчивостью материала, которая проявляется в виде локализации деформаций и поврежденности [10,11]. Показано существенное влияние показателя кинетического уравнения и скорости деформирования на полученное решение, в том числе на прочностные свойства материала и характер разрушения.

1. Постановка задачи. Материал плиты предполагается однородным, изотропным, описывается уравнениями теории рассеянного разрушения, основанной на энергетическом подходе к описанию эволюции поврежденности. Изменением температуры пренебрегается. Скалярный параметр поврежденности ф и тензор деформации е предполагаются малыми по сравнению с единицей. Для описания поведения повреждающегося материала применяется модель континуального разрушения [1-3]. В соответствии с этой моделью для упругого потенциала w = w(e, ф) используется выражение

w(e,c) = X KI?(e) + UJ2(e) - apcplx{e) - a<<J(e), Ix = ekk, J(e) = (s^v )1/2(1.1)

Здесь и далее s = e - l/3I - девиатор деформаций, K, ju- модули объемного сжатия и

сдвига неповрежденного материала, ap, as > 0 - параметры, характеризующие

уменьшение упругой энергии при накоплении поврежденности. Тензор напряжений в материале, соответствующем потенциалу (1.1), записывается в виде

о = dw / de = ( KI1 (e) - а<сф) I + ( 2ji-a<cp/ J (e) ) s(1.2)

Кинетика поврежденности ф задается уравнением

ф + фп /т = (al (e) + aJ (e) - g) /(тЬ)(1.3)

где т > 0 - время релаксации, n >0 - показатель кинетического уравнения, Ь, g > 0 -параметры, входящие в выражение для эффективной поверхностной энергии поврежденного материала

puf (ф) = g< + Ьфп+1 /(n +1), Ь, g, n > 0(1.4)

Условие активного нагружения iif > 0, при котором деформирование материала

сопровождается накоплением поврежденности, записывается в виде

a/1(e) + aJ(e) - g > 0(1.5)


Прямая J = (g - a as разбивает плоскость J) на две области. При apI1 + asJ - g < 0 отклик материала является упругим. При apI1 + asJ - g > 0 накапливается поврежденность.

Обобщение этой модели континуального разрушения на случай тензорной характеристики поврежденности содержится в работах [12,13].

Будем рассматривать плоскую плиту (полосу) толщиной 2h, шириной x0,

бесконечно протяженную в одном направлении. Введем декартовы координаты (x, y, z) так, чтобы координатная плоскость y=0 лежала в срединной плоскости плиты, а плоскости х=0 и x= x0 совпадали с боковыми гранями (рис.1). Все сечения z = const предполагаются

равноправными, вследствие чего зависимость решения от z отсутствует.

Пусть на боковых гранях полосы х=0 и х=х0 действуют нормальные напряжения

width=273

Ox (0, y, t) = Ox (X0, y, t) = (y, t) Касательные напряжения на боковых гранях предполагаются равными нулю

Oy (0, y, t) = 0, Oy (X0, y, t) = 0(1.7)

Интегралы по граням x=0 и x= x0 (на единицу длины в направлении z) равны растягивающей силе и моменту относительно оси z:

N(0)(t) = N(1)(t) = joi0)(y, t)dy, Mf(t) = Mz(1)(t) = J yd»(y, t)dy(1.8)

- h- h

Вследствие независимости напряжений от координаты z моменты сил относительно осиy равны нулю. Нижняя и верхняя поверхности плиты y = ±h считаются свободными

(x, ± h, t) = 0, Oyy (x, ± h, t) = 0, 0 < x < X0, t > 0

(1.9)

Начальное состояние плиты - естественное, то есть ненапряженное и неповрежденное

Oj (x, y,0) = 0, <р( x, y,0) = 0(1.10)

2. Упругое деформирование. Рассмотрим сначала малые нагрузки, когда условие (1.5) не выполняется и материал находится в упругом состоянии. В этом случае перемещения будем искать в виде

u (x, y, t) = xX (y, t), v( x, y, t) = -AA-1y ( X (y, t) - X yV (t) ) - X x 2V (t)(2.1)

где X(y, t) = U(t) + yV(t), а U(t), V(t) - функции времени, которые определяют изгибающий момент и растягивающую силу, Я, /и - модули упругости, входящие в закон Гука. Здесь и далее величина Л = Я + 2/ . Тогда деформации и напряжения записываются в виде

exx ( у, t) = X (y, t),

-ЯЛ-1 X (y, t),

0

(2.2)

(y, t) = 4и(Я + и)Л-1 X(y, t),=Oyy =OyZ =OZZ = 0(2.3)

Из формул (2.3) следует, что все уравнения равновесия удовлетворяются тождественно.

Подчеркнем, что полученное простое распределение деформаций и напряжений справедливо при двух предположениях: отсутствует перерезывающая сила (равны нулю касательные напряжения), а растягивающая сила и изгибающий момент не изменяются вдоль оси х. Действительно, используя (2.3), придем к соотношениям для силы и момента

N(t) =JoxX (y, t)dy = 8/h ^U(t), Mz (t) =J yoxX (y, t)dy = 8/h3^- V(t)(2.4)

Я + и -

-h

Л

- h

Из формул (2.2) получаем

h


=-КЛ-1 X, szz =- Уз иЛ-1 X, sl} = 0, i * j,

(2.5)

Sx = (1 - % иЛ-1)X,

I1 = 2jX / Л, J = /X, l = 4 2/3(Я2/Л2 + Л/Л +1), К = А + 2j/3 Подставляя (2.5) в (1.5), получим условие начала накопления поврежденности

(2^-lap + lassignX (y, t) )X (y, t) - g = 0(2.6)

Уравнение (2.6) определяет зависимость от времени t координаты y = y*(t), где

достигается пороговая деформация exx (y, t) = X(y, t), при которой начинается процесс

рассеянного разрушения. С учетом (2.3) условие (2.6) можно записать в напряжениях

+ = 4и(Я + и) g

2jia ± asM.

(2.7)

где <j+x - «пороговые» значения напряжений, превышение которых (по абсолютной

величине) сопровождается накоплением поврежденности. Знак плюс соответствует случаю X(y,t)>0, когда преобладают растягивающие напряжения, а знак минус реализуется при X(y,t)<0, когда главную роль играет сжатие. Учитывая, что <Jx < 0, приходим к ограничению 2/jap < a/Л на параметры материала.

При изгибе положительным моментом, которому в силу (2.4) соответствует F(t)>0, и сжатии, которое реализуется при U(t)<0, поврежденность начинает развиваться на нижней поверхности y=-h, если

U(t) < Uc < 0, hV(t) = U(t)

2jap - Mas

4jUa I

l2 Л2 a2)

(2.8)

Для доказательства предположим, что <Jxx (+h, t) < <j+ формулы (2.3) получим тогда

ax(h,t) = ^М^+Аци + hV) < 4U(A + Ujg

или

Л

U+hV<

2jia + asl Л

U - hV

ax(-h,t) = ^l^Uf - hV)

С учетом

4ju(A + ju) g

Л

2/jav - al Л

2/jap +2/jap

Сложив эти соотношения, придем к ограничению на функцию U(t), при котором континуальное разрушение начинается в результате сжатия U < Uc = 2^apg/(4u2a] -12Л2a2)

Выражая из второго равенства V(t) через U(t), придем ко второму из соотношений (2.8).

Аналогично можно показать, что при изгибе положительным моментом (V(t)>0) и растяжении (U(t)>0), поврежденность начинает развиваться на поверхности y=+h при условии

width=294

U(t) > Uc,hV(t):

U (t)

2jap + M.as

Для отрицательного изгибающего момента ограничения имеют аналогичный вид.

Из (2.8), (2.9) следует, что на плоскости (U,V) область упругого поведения материала ограничена кусочно-ломаной прямой. Качественный вид границы ABCDC\B\ упругой области изображен на рис.2. Характерная особенность этой границы - наличие разрывов BC и B1C1, которые соответствуют смене характера напряженного состояния.

3. Изгиб и растяжение при наличии поврежденности. Пусть вектор перемещения при наличии в теле области поврежденности заданы выражениями




содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

© ЗАО "ЛэндМэн"