| ||||
|
Главная страница » Энциклопедия строителя содержание: [стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] страница - 0 Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала Ежов Г.П., Кондауров В.И. (vk@mipt.ru) Московский физико-технический институт В линейной теории упругости задача об изгибе была рассмотрена Сен-Венаном (1856) в знаменитом мемуаре «Об изгибе призм». При построении решения использовался полуобратный метод, основанный на том, что некоторые деформации «угадываются», а для оставшихся деформаций получаются уравнения, доступные рассмотрению. Этот метод обобщается на случай нелинейного повреждающегося материала [1-3]. В отличие от традиционных подходов к описанию рассеянного разрушения [4-7] используется уравнение кинетики поврежденности, согласованное с ростом эффективной поверхностной энергии микротрещин и диссипацией энергии в процессах рассеянного разрушения. В итоге задача сводится к начальной задаче для двух обыкновенных дифференциальных уравнений, требующих численного решения. Для описания макроразрушения приповерхностного слоя материала использовано условие Адамара [8,9], которое рассматривается как критерий прочности, связанный с реологической неустойчивостью материала, которая проявляется в виде локализации деформаций и поврежденности [10,11]. Показано существенное влияние показателя кинетического уравнения и скорости деформирования на полученное решение, в том числе на прочностные свойства материала и характер разрушения. 1. Постановка задачи. Материал плиты предполагается однородным, изотропным, описывается уравнениями теории рассеянного разрушения, основанной на энергетическом подходе к описанию эволюции поврежденности. Изменением температуры пренебрегается. Скалярный параметр поврежденности ф и тензор деформации е предполагаются малыми по сравнению с единицей. Для описания поведения повреждающегося материала применяется модель континуального разрушения [1-3]. В соответствии с этой моделью для упругого потенциала w = w(e, ф) используется выражение w(e,c) = X KI?(e) + UJ2(e) - apcplx{e) - a<<J(e), Ix = ekk, J(e) = (s^v )1/2(1.1) Здесь и далее s = e - l/3I - девиатор деформаций, K, ju- модули объемного сжатия и сдвига неповрежденного материала, ap, as > 0 - параметры, характеризующие уменьшение упругой энергии при накоплении поврежденности. Тензор напряжений в материале, соответствующем потенциалу (1.1), записывается в виде о = dw / de = ( KI1 (e) - а<сф) I + ( 2ji-a<cp/ J (e) ) s(1.2) Кинетика поврежденности ф задается уравнением ф + фп /т = (al (e) + aJ (e) - g) /(тЬ)(1.3) где т > 0 - время релаксации, n >0 - показатель кинетического уравнения, Ь, g > 0 -параметры, входящие в выражение для эффективной поверхностной энергии поврежденного материала puf (ф) = g< + Ьфп+1 /(n +1), Ь, g, n > 0(1.4) Условие активного нагружения iif > 0, при котором деформирование материала сопровождается накоплением поврежденности, записывается в виде a/1(e) + aJ(e) - g > 0(1.5) Прямая J = (g - a as разбивает плоскость J) на две области. При apI1 + asJ - g < 0 отклик материала является упругим. При apI1 + asJ - g > 0 накапливается поврежденность. Обобщение этой модели континуального разрушения на случай тензорной характеристики поврежденности содержится в работах [12,13]. Будем рассматривать плоскую плиту (полосу) толщиной 2h, шириной x0, бесконечно протяженную в одном направлении. Введем декартовы координаты (x, y, z) так, чтобы координатная плоскость y=0 лежала в срединной плоскости плиты, а плоскости х=0 и x= x0 совпадали с боковыми гранями (рис.1). Все сечения z = const предполагаются равноправными, вследствие чего зависимость решения от z отсутствует. Пусть на боковых гранях полосы х=0 и х=х0 действуют нормальные напряжения Ox (0, y, t) = Ox (X0, y, t) = (y, t) Касательные напряжения на боковых гранях предполагаются равными нулю Oy (0, y, t) = 0, Oy (X0, y, t) = 0(1.7) Интегралы по граням x=0 и x= x0 (на единицу длины в направлении z) равны растягивающей силе и моменту относительно оси z: N(0)(t) = N(1)(t) = joi0)(y, t)dy, Mf(t) = Mz(1)(t) = J yd»(y, t)dy(1.8) - h- h Вследствие независимости напряжений от координаты z моменты сил относительно осиy равны нулю. Нижняя и верхняя поверхности плиты y = ±h считаются свободными (x, ± h, t) = 0, Oyy (x, ± h, t) = 0, 0 < x < X0, t > 0 (1.9) Начальное состояние плиты - естественное, то есть ненапряженное и неповрежденное Oj (x, y,0) = 0, <р( x, y,0) = 0(1.10) 2. Упругое деформирование. Рассмотрим сначала малые нагрузки, когда условие (1.5) не выполняется и материал находится в упругом состоянии. В этом случае перемещения будем искать в виде u (x, y, t) = xX (y, t), v( x, y, t) = -AA-1y ( X (y, t) - X yV (t) ) - X x 2V (t)(2.1) где X(y, t) = U(t) + yV(t), а U(t), V(t) - функции времени, которые определяют изгибающий момент и растягивающую силу, Я, /и - модули упругости, входящие в закон Гука. Здесь и далее величина Л = Я + 2/ . Тогда деформации и напряжения записываются в виде exx ( у, t) = X (y, t), -ЯЛ-1 X (y, t), 0 (2.2) (y, t) = 4и(Я + и)Л-1 X(y, t),=Oyy =OyZ =OZZ = 0(2.3) Из формул (2.3) следует, что все уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. Подчеркнем, что полученное простое распределение деформаций и напряжений справедливо при двух предположениях: отсутствует перерезывающая сила (равны нулю касательные напряжения), а растягивающая сила и изгибающий момент не изменяются вдоль оси х. Действительно, используя (2.3), придем к соотношениям для силы и момента N(t) =JoxX (y, t)dy = 8/h ^U(t), Mz (t) =J yoxX (y, t)dy = 8/h3^- V(t)(2.4) Я + и - -h Л - h 3Л Из формул (2.2) получаем h =-КЛ-1 X, szz =- Уз иЛ-1 X, sl} = 0, i * j, (2.5) Sx = (1 - % иЛ-1)X, I1 = 2jX / Л, J = /X, l = 4 2/3(Я2/Л2 + Л/Л +1), К = А + 2j/3 Подставляя (2.5) в (1.5), получим условие начала накопления поврежденности (2^-lap + lassignX (y, t) )X (y, t) - g = 0(2.6) Уравнение (2.6) определяет зависимость от времени t координаты y = y*(t), где достигается пороговая деформация exx (y, t) = X(y, t), при которой начинается процесс рассеянного разрушения. С учетом (2.3) условие (2.6) можно записать в напряжениях + = 4и(Я + и) g 2jia ± asM. (2.7) где <j+x - «пороговые» значения напряжений, превышение которых (по абсолютной величине) сопровождается накоплением поврежденности. Знак плюс соответствует случаю X(y,t)>0, когда преобладают растягивающие напряжения, а знак минус реализуется при X(y,t)<0, когда главную роль играет сжатие. Учитывая, что <Jx < 0, приходим к ограничению 2/jap < a/Л на параметры материала. При изгибе положительным моментом, которому в силу (2.4) соответствует F(t)>0, и сжатии, которое реализуется при U(t)<0, поврежденность начинает развиваться на нижней поверхности y=-h, если U(t) < Uc < 0, hV(t) = U(t) 2jap - Mas 4jUa I l2 Л2 a2) (2.8) Для доказательства предположим, что <Jxx (+h, t) < <j+ формулы (2.3) получим тогда ax(h,t) = ^М^+Аци + hV) < 4U(A + Ujg или Л U+hV< 2jia + asl Л U - hV ax(-h,t) = ^l^Uf - hV) С учетом 4ju(A + ju) g Л 2/jav - al Л 2/jap +2/jap Сложив эти соотношения, придем к ограничению на функцию U(t), при котором континуальное разрушение начинается в результате сжатия U < Uc = 2^apg/(4u2a] -12Л2a2) Выражая из второго равенства V(t) через U(t), придем ко второму из соотношений (2.8). Аналогично можно показать, что при изгибе положительным моментом (V(t)>0) и растяжении (U(t)>0), поврежденность начинает развиваться на поверхности y=+h при условии U(t) > Uc,hV(t): U (t) 2jap + M.as Для отрицательного изгибающего момента ограничения имеют аналогичный вид. Из (2.8), (2.9) следует, что на плоскости (U,V) область упругого поведения материала ограничена кусочно-ломаной прямой. Качественный вид границы ABCDC\B\ упругой области изображен на рис.2. Характерная особенность этой границы - наличие разрывов BC и B1C1, которые соответствуют смене характера напряженного состояния. 3. Изгиб и растяжение при наличии поврежденности. Пусть вектор перемещения при наличии в теле области поврежденности заданы выражениями содержание: [стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] |
|||
© ЗАО "ЛэндМэн" |