Как обустроить мансарду?



Как создать искусственный водоем?



Как наладить теплоизоляцию?



Как сделать стяжку пола?



Как выбрать теплый пол?



Зачем нужны фасадные системы?



Что может получиться из балкона?


Главная страница » Энциклопедия строителя

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

страница - 2

где N(e) = s / J - нормированный девиатор тензора деформаций, такой, что N:I=0, N:N=1, вектор n - единичная нормаль к характеристической поверхности. Состояние (е0,р°) определяется как реологически неустойчивое, если существует направление n 0 = п(е0,р°), вдоль которого скорость одной из нестационарных характеристических поверхностей обращается в нуль, то есть с(е0,р°, п0) = 0 для материальной частицы в этом состоянии. Из формул (4.1) следует, что вырождение по скорости с3 наступает при условии = a<p0/ J (e0) = 2/(4.2)

Так как условие (4.2) не зависит от нормали п, то поверхность локализации в этом случае может быть ориентирована произвольным образом. Рассматривая характеристическое уравнение, соответствующее скорости с3, можно показать, что на ней локализуется деформация сдвига.

Для определения условий, при которых происходит вырождение по скоростям c12, заметим, что величина рс2 < рсг2. Поэтому достаточно рассмотреть вырождение по скорости c2. Единичный вектор п, доставляющий экстремум рс\, определяется уравнением

(I - n ® п) • B • п = 0, B(e,p,n) = (L +M-pc22)N2(e) - 2L(n • N(e) • n)N(e) (4.3)

представляющим собой необходимое условие экстремума величины pс21(e,p,п). Уравнение (4.3) при скорости c2 — 0 имеет следующие решения:

1)если собственные числа тензора N(e) различны, то различны и собственные числа тензора В. Тогда экстремальная нормаль п - собственный вектор тензора N(e).

2)если два собственных числа тензора В совпадают (например, B1 = B2 Ф B3), то две

плоскости разрыва проходят через главную ось e3 тензора N(e) и делят угол между двумя другими главными осями e1, e2 в соответствии с формулами

2n12 = 1 - MN3 L_1/(N - N2), n22 = 1 - n2, n3 = 0(4.4)

3)если тензор В - шаровой, что возможно только для одноосной деформации, то п -нормаль к поверхности кругового конуса, ось которого совпадает с главной осью тензора деформации. Угол Т полураствора этого конуса определяется выражением

2n2 = 2 sin2 Т = (1 + x ML- )

Не останавливаясь на доказательстве этих утверждений, которые можно найти в книге [3], рассмотрим их приложения к рассматриваемой задаче.

В первом случае, при различных собственных числах тензора В потеря реологической устойчивости материала всегда происходит при £ = £Г = 2/ и проявляется

в виде поверхностей локализации сдвиговой деформации.

Действительно, если нормаль п - собственный вектор тензора N(e), то величина Q=0. Тогда рс2 = M + P - P. Пусть, для определенности, п=(1,0,0). Условие P > 0

равносильно неравенству Я + и + p(N2 - X) > 0 . Поскольку реологическая неустойчивость в этом случае наступает при М=0 или £ = ££ = 2/, то соотношение P > 0 сводится к неравенству К + 2//N2 > 0 .

При Р<0 скорость c2 обращается в нуль при значении р, которое удовлетворяет уравнению Л + £(^-X) = 0. Поскольку из уравнений N (e) :N (e) =1, N (e) :I=0 следует, что N2 < 2/3, то рассматриваемый случай может иметь место только при N2 < 2/3. Тогда £ = Л /(X - N2). Подставляя это значение £ в неравенство Р< 0, приходим к соотношению К + 2//N2 < 0, которое не может выполняться при К > 0, / > 0 .


Во втором случае, когда два собственных числа тензора В совпадают, реологическая неустойчивость наступает при значениях

= X Л при -3j/%< W - 2/иК-1 X < 3j/%

4//(А + //)

(3)

2/3 /л + 3KN32

(4.5) (4.6)

На поверхностях локализации деформаций, соответствующих (4.5), (4.6) терпят разрыв как сдвиговая, так и нормальная компоненты тензора деформаций.

Действительно, в силу (4.1) условие рс\ = 0 эквивалентно M + P = (P2 - Q) Используя определения величин P и Q, получаем отсюда

M(M + L) + (M + Щп • N2 • n -£L(n • N • n)2 = 0 (4.7) С учетом следующих из (4.4) формул

2n2 -1 =

MN3

n • N • n

M + L

2L

N

3

n • N2 • n

2!

1 +

M-L

L

N32

(4.8)

L(N2 - N1) уравнение (4.7) приводится к форме

(M + L) (// + % £Г1 (M - 3L) N32) = 0

Корень уравнения (4.7), который соответствует M+L=0, приводит к значению параметра £ = £с(2). При этом значении £ величины

L = 3/4K, M = -L = -y4K, n • N • n = 0

Исходное уравнение M + P = (P2 - QY1 удовлетворяется при выполнении неравенства

M + P > 0, что дает N32 < 2///3Л . Из (3.5) следует, что 3JN3 = W - 2//Л-1 X . Поэтому эта

форма неустойчивости может реализоваться, если выполняются неравенства (4.5). Другой корень уравнения (4.7) соответствует

4ML + £(2L + (M + L)N32) = 0

Подставляя сюда выражения для M, L и N3, получим уравнение (4.5) для параметра £((г2).

Третье мода реологической неустойчивости не может реализоваться в задаче об изгибе и растяжении плиты, так как для компоненты N1 нормированного девиатора деформаций справедливо строгое неравенство N12 < 2/3. Действительно, с учетом формул (3.4), (3.5) неравенство

N2 =sl / J2

1

((3Л + 4ju) X + ЛW))

2

9 12Л2X2 + 2KЛWX + уъ ЛW2 3 сводится к соотношению -3(AX + ЛW)2 < 0, справедливому при всех X и W. Это значит, что образование конических поверхностей локализации деформаций не может реализоваться в рассматриваемой задаче.

РС22,3

3.2

1.6

c.s

3

\2

1

/

/

з

Ш

\s

4

V j

\

2

1.4

.8 4.2 5.6

3.2

о.з

3

3

/

1 \ 2

1 j

/

6

0

4 \

/\ Л

5

1

4

9

_

а)

0246810

Рис. 5.


tt

Какая из форм реологической неустойчивости реализуется в процессе изгиба и растяжения плиты? Аналогично [3] будем считать, что проявляется та форма неустойчивости, которая соответствует наименьшему значению момента времени t„, когда величина £(у,t) на заданной траектории деформирования (U(t),V(t)) достигает своего критического значения, определяемого уравнениями (4.5) или (4.7).

На рис. 5 представлена зависимость oxx (t) (кривые 1,2,3) и скорости характеристик

рс\({.) (кривые 4,5,6), рс2^) (кривые 7,5,9) в поверхностном слое y=h плиты при чистом изгибе (к = 0). Рис. 5a соответствует n=1, рис.5Ь - n=2. Параметры материала /и = 1, Л = 1, ap = 1, as = 2, b = 0.5. Скорость деформирования r=0.3, 1.0, 3.0. Результаты

расчета показывают, что при n=1 возможны обе формы потери устойчивости, но более ранней является первая форма (4.2) и соответствует локализации сдвиговой деформации. Об ориентации поверхностей локализации в данном случае ничего сказать нельзя, так как при = 2/ возможна любая ориентация. При n=2 величина рс32 = 0 только при умеренной скорости деформирования (кривая 8 на рис.5Ь).

Работа выполнена при поддержке Программы ОЭММПУ РАН «Накопление поврежденности, разрушение, изнашивание и структурные изменения материалов при интенсивных механических, температурных и радиационных воздействиях» и Российского Фонда фундаментальных исследований (№ 03-05-64643).

ЛИТЕРАТУРА

1.Кондауров В.И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел // ПММ, 1988,

Т.52. Вып.2. С. 302-310.

2.Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.:

Наука. 1990, 207с.

3.Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированных сред. М.:

Изд-во МФТИ, 2002. 336с.

4.Ильюшин А.А. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. №3. С. 21-35.

5.Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311с.

6.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744с.

7.Lemaitre J. A course on Damage Mechanics. Springer - Verlag. 1992. 280p.

8.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. 592 с.

9.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512с.

10.Rudnicki J.W., Rice J.R. Conditions for the localization of deformation in pressure - sensitive dilatant materials // J. Mech. Phys. Solids. 1975. Vol.23. P.371-394.

11.Кондауров В.И. О реологической неустойчивости упругой повреждающейся среды // ПММ,1991,т.55, вып.1, с.109-117.

12.Кондауров В.И. Тензорная модель континуального разрушения и длительной прочности упругих тел // Изв. РАН. МТТ, 2001, № 5. с.134-151.

13.Ежов Г.П., Кондауров В.И. Модель континуального разрушения термоупругой среды // Сб. "Современные проблемы механики и прикладной математики". Материалы международной школы - семинара. (г. Воронеж, 4-8 июня 2002г.). Часть 1. Воронеж: Изд-во ВГУ. 2003. с. 109-122.




содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

© ЗАО "ЛэндМэн"