В случае если g = g1, проблема линеаризации в пространстве состояний разрешима, если dim(span{g,adfgad^1 g}) = n и распределение {g,adfg,...,adf2g} инволютивно. В этом случае требуемые а, в и z = F(x) определяются как

а( x)

Lf (P(x). .

LgL7>( x)

z(x) = (y(x),Lf cp(x),...,Lf y(x)) Например, в случае n = 2 :

Lg(p( x) = g (£) = 0; LgLf y( x) = g (-

+ f 2

dx1

dx2

dx1

-) * 0

(20) (21)

(22)

Линеаризация MIMO систем.

Рассмотрим отображение F : x -— со/(£(x),...,E,m (x)), где x) = (x),Lf cpt(x),...,Lfx)] ; вектор относительных степеней k = (k1,..., km ) определяется из выполнения соотношений

< Laf у( x), g (i) > 0; 0 <а< kt - 2; 1 < i < m; < Lkf<pt( x), gt >* 0;(23)

A = К (x) = < L)>,(x), gy >;(24)

для MIMO системы:

dxm

— = f (x) + Z g,u,; y = (x) dt~r

(25)

Выберем а, в из уравнений: A(x)a(x) =-[Lkf1y1(x),...,Lfmym(x)]T;A(x)e(x) = I; Каждая i-ая подсистема описывается системой, представленной в нормальной форме:

Заключение. В дальнейших работах авторы предполагают построить численные методы решения PDE для линеаризации гладкой нелинейной системы управления с использованием входной или выходной информации входа/выхода.

Литература

1.Fujimoto, K., Sugie, T. Freedom in coordinate transformation for exact linearization and its application to transient behavior improvement // Automatica, vol. 37, 2001, pp.137-144

2.Isidori A., Krener A., Giorgi C., Monaco S. Nonlinear decoupling via feedback: a differential geometric approach // IEEE Transactions on Automatic control, vol 26, 1981, pp. 331-345.

3.Sugie, T., Fujimoto, K. Controller design for an inverted pendulum based on approximate linearization // International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 8(7), 1998, pp.585-597.