Как обустроить мансарду?



Как создать искусственный водоем?



Как наладить теплоизоляцию?



Как сделать стяжку пола?



Как выбрать теплый пол?



Зачем нужны фасадные системы?



Что может получиться из балкона?


Главная страница » Энциклопедия строителя

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4]

страница - 1

Решение уравнения (1) имеет вид: fp = const • e

Из общего вида уравнения (1) и его решения можно сделать следующие выводы.

1.Правая часть уравнения (1), равна нулю, как при условии потенциальности сил, так и в равновесном состоянии при условии отсутствия относительного движения подсистем, что эквивалентно отсутствию обобщенных сил.

2.По своей физической сути правая часть (1) является интегралом столкновений.

3.Интеграл столкновения может быть найден с помощью уравнений движения элементов системы.

Пусть в подсистеме существует стационарный внешний поток энергии. Учтем, что = df— + X (Гк-"- + Рк ). Тогда для уравнения (1) получим [16]:

Уравнение (2) подобно уравнению, описывающему флуктуации функции

распределения в неравновесном стационарном газе [22]: У —- = Stf . Здесь Stf -

к=1 -гкp

интеграл столкновений. Но в отличие от уравнения для флуктуаций функции распределения, в левой части (2) имеется еще один член, обусловленный градиентом функции распределения в пространстве импульсов и наличием сил между подсистемами.

Так как уравнения (1) получено из фундаментальных законов классической механики, то его можно называть «мастер уравнением». При соответствующих предположениях из него должны вытекать известные кинетические уравнения.

Очевидно, что для использования полученных обобщенных уравнений для изучения открытых систем, надо знать обобщенные силы. Но некоторые важные свойства динамики непосредственно следуют из анализа обобщенного уравнения Лиувилля.

Рассмотрим важную закономерность, обусловленную взаимосвязью динамики отдельных подсистем с динамикой системы в целом. Она вытекает из условия консервативности, согласно которому фазовый объем системы перераспределяется между подсистемами при условии сохранения его полной величины.

R P

Для всей системы выполняется равенство XX F- =0. Отсюда следует справедливость

р=1 к=1

уравнений — ^^Л- - = 0, + Vk dfR + —df^ = 0, где fR -функция распределения дисков системы, LR - канонический Лагранжиан системы. Так как система консервативна, то

R

У divJp = 0. Здесь Jp = (&, —)- обобщенный вектор тока. Из решения уравнения (1) следует: J0 (—Fk — = 0 . Тогда из условия согласованности уравнения Лиувилля для

р=1 к=1 рк

всей системы, с обобщенными уравнениями Лиувилля для подсистем, вытекает возможность существования двух типов динамики.

Первый тип динамики определяется тем, что в фазовом пространстве существуют области, в которых для показательной функции решения (1) выполняется условие:

Здесь fp = f (г, р, t)- нормированная функция распределения элементов одной из подсистем, обозначенной индексом p ; к -номер диска подсистемы, к = 1,2,...P; P - число дисков в подсистеме; s - внешние диски по отношению к подсистеме; F1p - действующая на к -й диск сила со стороны внешнего s -го диска.

-ю (i ipp )dt


t P д

Jo ( —Fk )dt -> const при t -> oo(3)

k=1dpk

Этот тип соответствует необратимой динамики. При отсутствии диссипации он возможен при условии такого необратимого перераспределения фазового объема между подсистемами, при котором сохраняется его полная величина.

p

Второй тип динамики возможен тогда, когда выражение Z— Fk

д

выражение у — Fkp является

периодической функцией времени. Это соответствует обратимой, периодической динамики. Обратимость возможна при условии, что приготовленная система окажется в точке инвариантного множества фазового пространства. При этом происходит периодическое изменение фазового объема подсистем при условии сохранения фазового объема системы и периодического возвращения системы в исходную точку [7, 10].

Таким образом, необходимым условием для необратимой динамики является зависимость сил взаимодействия подсистем от скорости. Наличие такой зависимости снимает запрет на необратимость, накладываемый теоремой Пуанкаре о возврате [10], поскольку эта теорема справедлива только при условии потенциальности сил взаимодействия. Поэтому задача о существовании необратимости сводится к доказательству наличия зависимости обобщенных сил от скоростей движения подсистем в неравновесных системах. Сначала покажем, что такая зависимость имеет место для системы жестких дисков.

Приведем уравнение движения сталкивающихся жестких дисков. Оно выводится на основе матрицы столкновения из законов сохранения энергии и импульса [16,17].

Vf =Ф ,^,(t)) А

¥kj = [ lkj(t )\ _ D]/ \А j\ ; d^kj)-дельта функция; Ikj (t) = zkj +\А kjdt - расстояния

0

между центрами k и j дисков; Фkj- = А lj.)/(А ^); i- мнимая единица; t - время;

zkj = z\ _ z0 -начальные значения координат дисков; Аkj. = Vk _ Vj - относительные

скорости дисков; D -диаметр диска. Удары считаются центральными и парными, трением пренебрегается. Массы и диаметры дисков приняты равными единице. Моменты столкновений k и j дисков определяются условиями i//kj = 0.

Уравнение (4) неньютоновское, так как в нем сила зависит от относительных скоростей дисков. Его можно рассматривать как уравнение, определяющее не диссипативное перераспределение кинетической энергии между сталкивающимися дисками, минуя стадию преобразования этой энергии в потенциальную. Т.е. можно описать динамику системы твердых дисков без привлечения понятия о потенциальной энергии. Действительно, при условии абсолютной упругости у дисков нет внутренних степеней свободы, поэтому введение потенциальной энергии для таких систем не вполне корректно.

Поскольку сила, действующая на каждый диск подсистемы, зависит от относительных скоростей сталкивающихся дисков, то и сила, действующая на подсистему, также будет зависеть от скоростей. Причем эта обобщенная сила определяет характер перераспределения кинетической энергии между дисками без ее диссипации. Т. е. обобщенная сила не диссипативная. А поскольку обобщенная сила зависит от скоростей элементов, то согласно обобщенному уравнению Лиувилля, для дисков возможна необратимая динамика. Необратимость возможна и в сильно разреженных системах потенциально взаимодействующих элементов [15]. Это следует из того, что для таких систем в пределе сильной разреженности справедливо уравнение движения (4).


-Р2Рv

S„ (Ер--) =--=--. Следовательно, дифференцируя (6), будем иметь:

-Рр р р 2Мр МрТ Т

va = Та + [Огр ], где u = Та, Q = ТЪ.

Полученный результат означает, что вне рамок термодинамического равновесия подсистемы совершают относительное движение.

Кроме того, из данного результата следует важный вывод. Мы видим, что равновесие характеризуется состоянием, в котором при любом разбиении системы на подсистемы импульсы подсистем (считается, что центр масс всей системы покоится) равны нулю, т.е. Рр = 0. Следовательно, по мере приближения системы к равновесию, импульсы

подсистем, а значит, энергии их относительного движения должны стремиться к нулю.

Таким образом, движение системы к равновесию должно быть связано с работой обобщенных сил. При этом их работа должна преобразовывать энергию движения подсистем во внутреннюю энергию. Такое преобразование энергии связано с изменением функции распределения всей системы. В результате энергия относительного движения подсистем исчезает и система становится равновесной.

Как видно из формулы (5), неравновесность определяется кинетической энергией относительного движения подсистем. Поэтому становится ясным, почему для правильного описания динамики неравновесной системы с помощью принятого нами подхода, система должна быть разбита на равновесные подсистемы. Строго доказать возможность использования этого условия для любых неравновесных систем пока невозможно. Но, тем не менее, это условие является достаточно общим [2]. Например, ему удовлетворяют системы с локальным равновесием.

Существование зависимости обобщенных сил от скоростей в неравновесных системах согласуется с приведенным в [2] доказательством, согласно которому «в термодинамическом равновесии замкнутая система может совершать лишь равномерные поступательное и вращательное движения как целое; никакие относительные движения подсистем невозможны». Приведем это доказательство. Оно также потребуется в дальнейшем для обоснования формулы, выражающей энтропию через обобщенные силы.

Пусть Mp, Ep, Pp - масса, энергия и импульс выделенной р - подсистемы. Энтропия

р - подсистемы является функцией ее внутренней энергии. Тогда энтропию всей системы можно записать так [2]:

где R -количество подсистем; р -номер подсистемы. Аргументом для выражения энтропии подсистемы является ее внутренняя энергия.

Так как вся система замкнута, то помимо энергии сохраняются полный импульс и

RR

полный момент импульса, т.е. XРр = const, X[грРр ] = const. Здесь гр -радиусы-векторы

подсистем. В состоянии равновесия полная энтропия тела, как функция импульсов подсистем, имеет максимум при выполнении этих условий. Тогда, используя метод неопределенных множителей Лагранжа, найдем необходимые условия максимума, приравняв к нулю производные по импульсу от выражения:

+ аРр + Ъ[грРр ]},(6)

р=1

где a,b - постоянные множители.

Дифференцируя S по Рр, в силу определения температуры, получим:




содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4]

© ЗАО "ЛэндМэн"