смысл s(0) - так называемая "мгновенная деформация" в момент приложения нагрузки (если s(0) = 0 , это означает, что рассматривается реальный процесс быстрого нарастания деформации в стадии нагружения, а не его идеализация, пренебрегающая продолжительностью этой стадии). Выбрав в качестве меры повреждённости среднее s(t), получим КР

s(t*) = s*, где s(t) := s(0) + v(t) t, s* = s0 ck, k e R .(6.1)

Так как s(t) - ещё одна характеристика средней деформации за время t, то можно ожидать, что КР (6.1) даст для момента разрушения t* результат, качественно схожий с КР (4.1) и (5.2).

Целесообразность использования критерия (6.1) связана ещё и с тем, что он обобщает и формализует эмпирическое наблюдение [5,6]: в испытаниях на ползучесть для разных материалов произведение t* на скорость установившейся ползучести - величина постоянная, не зависящая

(или слабо зависящая) от уровня напряжения: vt* =s* (т.е. выполняется (6.1) с k = 0 и s(t) = v = const). Это наводит на мысль обобщить этот эмпирический факт на неустановившуюся ползучесть, ибо далеко не все материалы имеют кривые ползучести с выраженным прямолинейным участком. Это можно сделать, заменив скорость установившейся ползучести v на среднюю скорость ползучести на интервале времени от 0 до t* (или на интервале (6t*, t*), где 0 <9 < 1 - см. п.8) и добавив слагаемое s(0), обеспечивающее чувствительность КР к начальной мгновенной деформации. Тогда и получится КР (6.1) с k = 0 .

Среднюю скорость деформации v(t) в (6.1) можно определять разными способами. Например, можно применить к s(t) тот же интегральный оператор усреднения, что был использован в (5.2):

v(t) = vu (t):=l - j"s(T)"dT , и > 0.(6.2)

Vt 0J

Для средней скорости (6.2) критерий разрушения (6.1) принимает вид:

su (t*) = s*, где sru (t):=s(0) + vu (t) t, и > 0; s* = s0 ck , k e R .(6.3)

При и = 1 интеграл (6.2) вычисляется: v1 = (s(t) - s(0))/1. Поэтому s1 (t) = s(t), t > 0, и КР (6.3) при

и = 1 совпадает с ДКР (4.1). Так как при любом фиксированном t > 0 средняя скорость (6.2) возрастает с увеличением и , то и мера повреждённости ^и (t) = s(0) + vu (t)t возрастает по и .

Поэтомуsu (t) > s(t) для всех t > 0 при и > 1.(6.4)

Таким образом, любой критерий семейства (6.3) с и > 1 всегда даёт меньшее время разрушения, чем ДКР (4.1), причём разницу можно сделать сколь угодно малой за счёт выбора значения и близким к единице (ибо vu (t) и s;u (t) - непрерывные функции от и ).

Но прежде чем использовать меру повреждённости s:u (t) в КР, необходимо убедиться, что s:u (t) возрастает, если возрастает s(t). Это не столь очевидно, поскольку усредняемая функция s(t), в отличие от s(t), не обязана возрастать (более того, s(t) убывает на первом участке кривых ползучести), и потому оценки производной, использованные выше при доказательстве возрастания su(t), не применимы к vu(t). Действительно, заменив в (5.3) s(t) на s(t), получим:

vu(t) = vu(t)(ut) 1 (s(t)/vu(t)) -1 при t > 0. Если s(t) - убывает, то s(t) > s(t) при Te[0,t],

поэтому vu (t) > s(t), и, следовательно, для любого и > 0 vu (t) < 0 при t > 0, т.е. vu (t) убывает. Тем не менее, при и > 1 средняя деформация s:u (t) := s(0) + vu (t) t возрастает при t > 0 (если

s(t) > 0). В самом деле, 4(t) = vu + vu t = vu(t)+vu(t)ul [(s(t)/vu(t))u -1] = vu(t)u1 [u-1 + (s(t)/vu(t))u

для su (t) > 0 достаточно и -1 > 0 . Если же s(t) возрастает при t > 0 (на кривой ползучести

отсутствует первый участок), то vu(() <s((), (s(t)/vu (t))" -1 > 0 , и поэтому su (t) > 0 при всех и > 0,

t > 0, а не только при и > 1.

Отметим, что s0, k, и, входящие в КР (5.2) и (6.3) (а также характер их зависимости от температуры), можно определить по результатам испытаний материала на разрушение либо при

ползучести, либо при деформировании с постоянной скоростью (при разных температурах). В частности, это можно сделать по экспериментальной кривой длительной прочности, поскольку s0, k и u входят в уравнение теоретической КДП (см. п.7).

7. Кривые длительной прочности для критериев разрушения (5.2) и (6.3).

Для кривой ползучести (1.6) с n > 0 (т.е. при m0 < 0) мера повреждённости (5.1) легко

вычисляется: su(t) = (nu +1)-1/u atn. Поэтому КР (5.2) даёт для момента разрушения выражение

t* = (nu +nu (s* Qh уh)1/n = b(u)(s* Qh уh)1/n, где b(u) := (nu +nu, и уравнение ТКДП имеет вид:

Цу) = b(u)s01/nQm y-mF(y)k/n, или Ца) = b(u)sS1nQm f(aymak/n,(7.1)

где (как и в п.3) m := h / n = -m-1 > 0, f := F 1 - обратная функция к МФ F(у) . Коэффициенты Q и n КП (1.6) зависят лишь от МП модели, но не зависят от напряжения а = F(у) и МФ F . Так как F(у), у > 0, - непрерывная, кусочно дифференцируемая, возрастающая, выпуклая вверх неотрицательная функция и F(0) = 0 (см. п.3 и [2]), то функция f (а), а > 0, неотрицательна, непрерывна, кусочно дифференцируема, возрастает, выпукла вниз и f (0) = 0.

КДП (7.1) отличается от КДП (4.2), к которой приводит обобщённый деформационный КР (4.1), только множителем b(u) := (nu +nu, не зависящим от у и а. Функция b(u) непрерывна и убывает при u > 0 ; b(u) > 1, причём b(u) —1 при u — +оо и b(u) — +оо при u — +0. Таким образом, при любом u > 0 КР (5.2) всегда даёт большее время разрушения, чем ДКР (4.1) (при тех же значениях напряжения и остальных материальных параметров), причём различие становится сколь угодно малым при достаточно больших значениях параметра u.

Выведем теперь уравнение ТКДП, соответствующей КР (6.3). Для кривой ползучести (1.6) с n > 0 средняя скорость ползучести (6.2) вычисляется: vu = (nu -u +unatn~l, если выполняется условие сходимости интеграла nu - u +1 > 0 (при n > 1 оно выполнено для всех u > 0 , а если n е (0;1), то - только для u < u , где u := (1 - n)-1 > 1). Поэтому su (t) = tvu = (nu -u +1)-1/u antn, и КР

(6.3) даёт: (nu - u + 1)-1/uant*n =s*, t* = (nu - u +nun-l,n (s* Qh у11 )1/", т.е.

4(у) = B(u )S01/nQm у-mF (у)к / n, или t*(a) = B(u )s01/nQm f (a)-mak / n(7.2)

КДП (7.2) отличается от КДП (4.2) и (7.1) только множителем B(u) := (nu -u +nurivn, не зависящим от у и а. Функция B(u) непрерывна и убывает на интервале (0;uu), B(u) — e(en)un при u — 0, B(u) — 0 при u — uu ; B(1) = 1, B(u) > 1 при u е (0; 1) и B(u) < 1 при u е (1; u) .

Таким образом, КР (6.3) применим к степенной кривой ползучести (1.6) с показателем n е (0;1) только при u е (0; u); при u = 1 КР (6.3) совпадает с ДКР (4.1), при u < 1 критерий (6.3) даёт большее время разрушения, чем ДКР, а при u е (1; u) - меньшее, причём различие становится сколь угодно малым, когда u « 1, и сколь угодно большим, когда значение u близко к u := (1 - n) 1.

При к < 0 ТКДП (7.1) и (7.2) строго убывают при а > 0 (так как m > 0, а f (а) - возрастает), и 4(а) — +оо при а — 0, что согласуется с данными испытаний любых материалов и "здравым"

смыслом. Если к > 0, то КДП (7.1) будет строго убывающей тогда и только тогда, когда

f (а)а - kd f (а) > 0, а > 0, или kdуF(у) - F(у) < 0, у > 0(7.3)

Дифференциальное неравенство (7.3) - дополнительное ограничение, которое следует наложить на МФ F и параметр k в КР (5.2) и (6.3), чтобы обеспечить убывание ТКДП (7.1) и (7.2).

Если kd < 1, то (7.3) выполняется для любой функции F(у), обладающей свойствами F(у) > 0, F"(у) < 0, F(0) = 0 и уF(у) — 0 при у — 0 (все они входят в список требований к МФ F(у) - см. п.3 и статью [2]). В самом деле, для функции y(у) := kdуF(у) - F(у) имеем y(0) = 0, и y(у) = kdуF"(у) + (kd -1)F(у) < 0 при kd < 1. Но тогда у(у) < 0 при всех у > 0 . Таким образом, ограничение (7.3) можно заменить гораздо более простым достаточным условием kd < 1.

Степенная функция F(у) = Ну удовлетворяет (7.3) при у> 0 только тогда, когда Mkd < 1. Это же критерий справедлив и для функций вида F(у) = Н ln (By + 1)M , M e (0;1], B > 0 . (Необходимость следует из рассмотрения асимптотики функции

y(у) := kdBMHy(By +1) 1 ln (By +1)M-1 - H ln(By + 1)M при у — 0: y(y) ~ H(kdM -1)BMryM ).

Зависимости t*(<j) (7.1) и (7.2) являются степенными тогда и только тогда, когда f (а) (а

значит, и F(у)) - степенная функция. Для МФ F(у) = HyM с M e (0;1] имеем f (а) = (а / Н)1/M, и КДП (7.1) (как и КДП (7.2), отличающаяся от (7.1) только множителем B(u), вместо b(u)) становится степенной кривойt*(a) = b(u) Q* H~m/M ал(k,M),(7.4)

где/(k, M) := (Mm0)-1 + kn- = (Mm0)-1 (1 - Mkd) ,(7.5)

m := m0-1, b(u) := (nu +nu, Q* := s01/nQm - постоянные, не зависящие от а, M, H и k (см. (4.3)).

/ < 0 только при условии Mkd < 1 (так как m0 < 0). Таким образом, требование убывания ТКДП t*(a), т.е. условие (7.3), приводит к необходимости наложить на допустимые значения

параметра k в КР (7.1) и (7.2) ограничение k < k , где k := (Md) 1 (оно совпадает с (4.4)). В логарифмических координатах ТКДП (7.4) прямолинейна:

ln t* = /(k,M) ln а + ln Q*H-m/M + ln b(u) .(7.6)

Варьирование k и M позволяет регулировать угловой коэффициент (7.5) этой прямой, добиваясь его совпадения с экспериментальным значением (это способ идентификации МП k по ЭКДП). /(k,M) возрастает по обоим аргументам, а // убывает (до нуля при k = k ). При увеличении k ТКДП (7.6) вращается против часовой стрелки вокруг неподвижной точки с координатами а = 1, t* = b(u)Q* H m/M . Чтобы сдвинуть эту точку, нужно изменить значение одного из МП и , s0, H

или M ( H и M, вообще говоря, определяются по диаграмме деформирования материала [2]).

Значение и не влияет на показатель / (7.5), т.е. на угол наклона прямой. Так как b(u) убывает, то с ростом и КДП (7.6) сдвигается вниз параллельно себе. При и — +оо b(u) — 1, ln b(u) — 0 и ТКДП (7.6) сливается с ТКДП (4.5), соответствующей ДКР (4.1). При и — +0 b(u) — +оо, и ТКДП (7.6) отличается от ТКДП (4.5) на сколь угодно большое слагаемое lnb(u). Таким образом, наличие трёх параметров и, k и s0 в КР (5.2) и (6.3) позволяет как угодно перемещать ТКДП (7.6) до полного совпадения с прямолинейной ЭКДП.

Для МФ F(у) , склеенной из двух степенных функций F (у) = HyM, определённых на отрезках [0;у1] и [у1;у2] (например, в том случае, когда а1 := F(у) - предел текучести материала [2]), ТКДП (7.1) тоже будет склеена из двух степенных кривых вида (7.4) с отрицательными показателями / := /(k, Mt) на интервалах [0,а1] и [а1,а2]. В логарифмических координатах

ТКДП (7.1) будет состоять из двух прямолинейных участков: ln t* = / ln а + ln Q*H;~m/Mi + ln b(u) . Именно это свойство характерно для экспериментальных КДП многих материалов (см. п.2, рис.1). Так как функция (7.5) возрастает с ростом M, и /< 0, то \/u(M) убывает, и потому условие

выпуклости вверх кусочно степенной МФ F(у) (т.е. условие M1 > M2) влечёт неравенство \/ \ <\/2\ для угловых коэффициентов Это свойство тоже наблюдается в опытах (см. п.2).

Наконец, если значения произвольной функции F(у) интерполируются кусочно-степенной функцией (с любым числом участков l), то обратная функция f (а) будет кусочно-степенной, и ТКДП (7.1) и (7.2) будут склеены из l степенных дуг вида (7.4) (см.. рис.1 в п.2).

8. Полезные модификации и обобщения критериев разрушения (5.2) и (6.3).

КР (5.2) и (6.3) (при и «1) ориентированы прежде всего на материалы, которые обладают "абсолютной" памятью, в том смысле, что они одинаково хорошо помнят всю историю деформации, начиная с момента t = 0. Параметр u в (5.1) играет роль регулятора значимости позднейшей (ближайшей к текущему моменту времени t ) истории: чем больше u , тем больший