К вопросу оценки точности приближенных вычислительных процедур метода анализа иерархий

Трофимец В. Я. (zemifort@inbox.ru ) Ярославский военный финансово-экономический институт

В работе [1] предложены четыре приближенные вычислительные процедуры нахождения главного собственного вектора матрицы парных сравнений, который после нормализации становится вектором приоритетов. Предложенные процедуры отличаются как точностью получаемых оценок, так и сложностью вычислительных действий.

Схема первой вычислительной процедуры состоит в следующем (1). Суммируются элементы каждой строки, после чего осуществляется процедура нормализации путем деления каждой суммы на сумму всех элементов матрицы. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом 1-го объекта, второй - 2-го объекта и т. д.

1 «12 ... a1n

a211 ... a2n

an1 an2 ... 1

A = Z a1 j

j=1

A2 = Z «2 j

j=1

An = Z anj

j=1

A1

w =--

1n n

ZZ aj

=1j=1

A2

w2 =-

2n n

ZZ aj

=1j=1

(1)

An

w=

nn n

nn

ZZ aj

=1j=1

Проанализировав процедуру (1), можно сделать вывод, что она эквивалентна процедуре нахождения средних арифметических по строкам матрицы с последующей их нормализацией.

Схема второй вычислительной процедуры состоит в следующем (2). Суммируются элементы каждого столбца, вычисляются обратные величины этих сумм, после чего осуществляется процедура нормализации путем деления каждой обратной величины на сумму всех обратных величин.

a 2

a

12

a

n2

a

1n

a

2n

A1 = Z a1 A2 = Z a 2 ... An =Z «п

i=1

i=1

i=1

A°6p = 1 A1

1

A2

1

An

A°6p

A°6p = Z А°6р

i =1

A°6p

1 a p A°6p

w2 =

А°6р

А°6р

wn = An

n a°6p

1

1

1

Проанализировав процедуру (2), можно сделать вывод, что она эквивалентна процедуре нахождения средних гармонических по строкам матрицы с последующей их нормализацией.

Схема третьей вычислительной процедуры состоит в следующем (3). Элементы каждого столбца делятся на сумму элементов этого столбца. Затем складываются элементы каждой строки новой матрицы, и эти суммы делятся на число элементов строки.

a" =

н a21_

a21 =

A

un1

A

a" = ^

A

A2

A2

2n : A2

a" =

nn

A

j=1

j=1

A" = Z a

n

j=1

W2 =

A1

n

AL

n

n

(3)

1

1

1

=1

=1

=1

Схема четвертой вычислительной процедуры состоит в следующем (4). Находится произведение элементов каждой строки, извлекается корень n-ой степени из полученных произведений, после чего осуществляется процедура нормализации путем деления каждого произведения на сумму всех произведений.

1^ a1n

a211 - a2n

an1 an2 ... 1

A1 = № a1 j

A2 =a2j

A

W2 =■

z A

=1

_Ai_

n

Z A,

(4)

A.

Z A

w1 =

=1

=1

Процедура (4) является процедурой нахождения средних геометрических по строкам матрицы с последующей их нормализацией.

В работе [1] указано, что процедура (4) обладает наибольшей точностью из рассмотренных, но теоретического или экспериментального обоснования точности процедур (1)-(4) не проведено. Ниже предложена схема и приведены результаты экспериментального обоснования точности приближенных процедур метода анализа иерархий.

Исследовались матрицы парных сравнений размерностью от 3 до 15 (в практике военно-экономического анализа матрицы размерностью больше 10-12, как правило, не встречаются). В основе проведенного вычислительного эксперимента лежал метод имитационного статистического моделирования (метод Монте-Карло).

Схема проведения эксперимента состояла в следующем (рис. 1).

Задание числа прогонов модели N1

Задание размерности прогона модели N2

Рис.1. Схема проведения вычислительного эксперимента по обоснованию приближенных вычислительных процедур метода анализа иерархий