В газе хорошо известен механизм потери непрерывности движения, называемый градиентной катастрофой [4]. Напомним, что градиентной катастрофой называется явление неограниченного роста градиентов основных величин (скорости, давления и т.д.). Непрерывное движение становиться невозможным и продолжается, но как движение с сильными разрывами. Это одна из важнейших особенностей движения газа. Эта особенность есть следствие нелинейности исходных гиперболических уравнений непрерывных движений газа, а точнее, следствие того, что транспортные уравнения вдоль характеристик оказываются уравнениями типа Риккати. Из теории уравнений Риккати известно, что их решения могут обращаться в бесконечность на конечном интервале изменения независимого переменного [7].

Интересно, что в несжимаемой невязкой жидкости на основании уравнений непрерывных движений так же были обнаружены течения, характеризующиеся неограниченностью не только производных, но и самих функций (скорости) [8]. Однако не было выдвинуто предложение о разрешении градиентной и функциональной катастрофы в жидкости подобно разрешению градиентной катастрофы в газе. Точнее, автору представленной работы не известно о предложении разрешения парадокса разрыва второго рода в жидкости за счёт образования разрыва первого рода. Очевидно, что отсутствие такого предложения продиктовано тем обстоятельством, что в несжимаемой жидкости не известны неконтактные сильные разрывы (разрывы первого

рода).

Включение во внимание фазово-кинематической степени свободы, связанной с изменением внутреннего углового момента среды, позволяет построить представление о разрывах первого рода в жидкости и разрешить парадокс бесконечности как градиентов, так и самих функций, моделирующих течение жидкости.

Обратимся к интегральному уравнению (5)

— J ([[хй] + j^)dV = J p[nxx]dF

применительно к стационарным осесимметричным течениям жидкости.

Наличие оси симметрии позволяет вывести скалярное следствие этого векторного интегрального уравнения и получить уравнение, выражающее закон сохранения углового момента относительно оси симметрии.

Специфицируем материальный объём, по которому ведётся интегрирование в (5) осесимметричным тором, ось симметрии которого совпадает с осью симметрии потока жидкости, и рассмотрим проекцию полученного уравнения на эту ось. Очевидно, что поверхностный интеграл в правой части полученного скалярного уравнения обратиться в нуль всилу того, что и нормаль к поверхности тора n и радиус-вектор x лежат в меридиональной плоскости и их векторное произведение имеет только окружную составляющую, проекция которой на ось симметрии равна нулю. Из всех составляющих поля скорости только кручение даёт вклад в объёмный интеграл в левой части

уравнения (по той же причине).

Итак, проекция уравнения (5) на ось симметрии применительно к материальному тору даёт уравнение:

d

— J(upR sin0 + j )d (TORE) = 0,

dt

где j - проекция удельного внутреннего углового момента жидкости на ось симметрии потока.

Первое слагаемое в подынтегральном выражении есть ничто иное, как циркуляция жидкости вокруг оси симметрии у = 2п ирК sin 0 .

Это уравнение выполнено для любого осесимметричного материального тора жидкости, ось симметрии которого совпадает с осью симметрии потока. Устремляя толщину выбираемого тора к нулю (тор стремится к окружности), легко видеть, что в любом осесимметричном течении сумма циркуляции и проекции внутреннего углового момента на ось симметрии есть интеграл движения. Т. е. для любой материальной частицы жидкости, движущейся в осесимметричном течении, сумма у + 2п j является величиной постоянной.

Для стационарного осесимметричного течения жидкости величина у + 2п j будет функцией только линии тока, т.е.

у + 2п j = const (L)(6)

Если «заморозить» фазово-кинематическую степень свободы, т.е. положить j = const, то интеграл движения (6) преобразуется в хорошо известный интеграл циркуляции

у = const(L),

являющийся следствием уравнений Эйлера.

Очевидное противоречие интеграла (6) и интеграла циркуляции оказывается порождением того обстоятельства, что исходное уравнение импульсов (4) и его следствие - уравнение Эйлера - не учитывает возможности фазового перехода второго рода, происходящего с изменением как внутреннего, так и внешнего углового момента, т. е. не учитывает возможности возникновения т.н. объёмных сил фазового перехода.

Для того чтобы как-то спасти положение и не отказываться от уравнений Эйлера вообще, будем полагать, что если фазовый переход второго рода происходит, то он происходит скачкообразно (мгновенно). Т.е. плотность внутреннего углового момента в частице среды меняется только через разрыв первого рода. Тогда вне поверхности разрыва - поверхности фазового перехода второго рода - j = const и применимы стандартные уравнения Эйлера непрерывного движения жидкости.

Предположим, что в стационарном осесимметричном течении идеальной несжимаемой жидкости происходит фазовый переход второго рода с изменением j. Это означает, что в течении существует некоторая неподвижная осесимметричная поверхность, через которую жидкость течёт, и на которой j имеет разрыв первого рода. Согласно интегралу (6) циркуляция у так же терпит разрыв первого рода на поверхности рассматриваемого фазового перехода. Разрыв циркуляции означает разрыв кручения ир .

Оказывается, что для разрешения парадокса сингулярности достаточно возможности разрывов первого рода только кручения, при этом остальные составляющие скорости и давление остаются непрерывными. Непрерывность меридиональных составляющих скорости ещё не означает непрерывности их производных. Более того, оказывается, что на поверхности фазового перехода вихрь, так же как кручение, терпит разрыв первого рода [1].

Литература.

1.Быркин А.П., Васильев С.В., Щенников В.В., Кинематика фазовых переходов в механике сплошных сред. - М.: Компания Спутник+, 2004. - 44с.

2.Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая гидромеханика. - М.: Физматгиз. -1963.

3.Ершков С.В., Щенников В.В., Об автомодельных решениях системы полных уравнений Навье-Стокса для случая осесимметричных закрученных течений вязкого сжимаемого газа, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, №7.

4.Овсянников Л.В., Лекции по основам газовой динамики, - М.: Наука, 1981.

5.G.J. Ranque, Method and apparatus for obtaining from a fluid under pressure two currents of fluids at different temperatures, - United States Patent Office (1,952,281), Mar. 27, 1934.

6.W. George, Jr. Scheper, The vortex tube - internal flow data and a heat transfer theory. Refrigerating Engineering, October, 1951.

7.Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (пер. с нем).

- М.: Наука. - 1971.

8.R. Fernandez - Feria, J. Fernandez de la Mora, M. Perez - Saborid and A. Barrero, Conically similar swirling flows at high Reynolds numbers, Q. J I Mech. appl. Math. (1999) 52 (1), 1 - 53.

•