i,J-1

У

yi, j = yi i. j+tg {<*,- i. jhi. i- xi-u)

Вычисление числа Маха Mij и угла наклона скорости eij в каждой точке можно осуществлять двумя подходами.

Первый подход заключается в том, что методом проб и ошибок отыскать значение Vy, удовлетворяющее следующем уравнениям :

Д-1,- + P

i,J-1

Vi j-г

_г2

CD(T)

-1dV + f

v J

CV(T)

R(T)

V

vi,i-1

_V2

CD(T)

-1

CV(T)

Pi J-1 -Pi-

i-1 j

Vi,j

f

_V2

R(T)

-1dV + f V

Vi,j

f

Vi-u

V2

CV(T)

-1

CV(T)

R(T)

R(T)

dV V

dV V

(7)

CV(T)

При решении двух уравнений основная погрешность в расчёте связана с величинами шага Vi j, Ti j и шагов сеток.

Уменьшение шагов, которое производится с целью увеличения точности, приводит к большей затрате времени. Поэтому при программировании для численного решения учесть не только точность, но и быстродействующий алгоритм.

Во втором подходе используется соотношение между касательной к характеристике первого семейства, проходящей в плоскости (x, y) через одну точку M и касательной к характеристике второго семейства, проходящей через соответствующую точку M в плоскости (Vx, Vy), (ось параллельна оси Vx).

При этом получается Vi j, решая уравнения Vx ij Vy ij :

УУг-1 j - УУг j-1 + K1VXi-1 j ~ K2VXi j-1 + ^1 (Xi j ~ Xi j-1) -Q (Xi j - Xi-1,j )

K1 - K2

VyUj = Vy-u - K2 (Vx,j - VX-1J ) - Q (xtij - x-1j )

K =

к2 =

Vx2 - a2

yCl VxVy + a^Vx2 + Vy2 - a2

1Vx2 - a2

Q2

a

C2i,j-1

yJVyl - a2 )

(8)

a22Vy2 yc

2У j

XiJ-l-y.ij-J

yc2 VxVy - a^Vx2 + Vy2 - a2 ^ y2 (Vyz2 - az2)

где £=0,1 относятся к плоскому и осесимметричному случаям, а индексы С1, С2 - к характеристикам первого семейства и второго семейства

соответственно.

Координаты контура (хгу, yiyJ) центрального

тела могут быть получены вычислением

пересечения линии характеристики первого

семейства от точки xitj-1, yij-1 с линией (от

точки xi-1 j, yi-1 с углом наклона j вектора

скорости относительно оси х. Рис. 6

Число Маха и угол наклона вектора скорости найдётся интерполяцией со значениями Mij-1,и М, в в точке x , y на линии воображённой

характеристики второго семейства от xi-1j-, yi-1j- (Рис. 6).

Теперь рассмотрим влияние температуры торможения на контур сопла. На рис. 7 показаны результаты расчёта при разных температурах торможения. В сверхзвуковой части сопла увеличение температуры торможения приведёт к росту скорости на выходе сопла, а к уменьшению числа Маха.

Линией показан контур сопла при температуре торможения To = 1000°K, пунктиром - при To =3000 °K, треугольником - при To =5000 °K. В этих случаях

1

0123456789

Рис. 7. Контуры сверхзвуковой части осесимметричных сопел

с центральным телом.

Таб. 2

Как показаны расчёты на рис. 7 и таб. 2, течение сверхзвуковой части зависит от температуры торможения To. Поэтому сопло, спроектированное под какую-то температуру торможения, при её изменении окажется в нерасчётном режиме. Иначе говоря, если сверхзвуковой часть оказывается короче, чем нужно, то по теореме А.А.Никольского возникнет скачок уплотнения, что приводит к дополнительным потерям [5].

Дальше проводилось сравнение контура для несовершенного газа с контуром для совершенного газа.

скорости потока, скорости звука и число Маха на выходе сопла написаны в таблице 2.