Re pa (t) = - cos p[A(t) • C — B(t) • D], a

Im pa (t) = — cos p[A(t) • D + B(t) • C ], a

(17) (18)

2t

где p = arctg— .

a

В другом случае модель плотности вероятности получается методом двусторонней аппроксимации плотности распределения с максимумом Ат в точке xm и имеет вид

fa (x) = Ат I Z Рк,лLk— x —л )1(Xm — x) + Z вк,пLk (x — Xm , an )1(x — Xm )

V k=0

ад

0

k=0

Pk,n =an \ fa (xm — x)Lk iX,an )dx

л J J a \ m

0

\1, x > 0

1( x) = \

2, x = 0 и 1(—x) = \ 0, x < 0

f0, x > 0

1, x < 0

x=0

(19)

(20) (21)

(22)

Рекомендуется использовать коэффициенты

mn (л)

Am — Z

bk ,n( л) = вк ,n( л) + "

~m / i r k,n(л)

k=0

mn( л) + 1

(23)

Имея аппроксимирующее выражение (19) для плотности вероятности с учетом формулы (23) получим аналитические выражения для характеристической функции. Выражение (10) будет выглядеть следующим образом:

I V

к, л k, л\ т

Pa (t) = J Ат\У,Клкл (xm — X,aл )1(x — xm ) + Т;ЬкЛ,п (x — xm ,an )1(xm—x) exp(tx)dx • (24)

—ад V к=0к=0)

Сделаем замены xm — x = u и x — xm = v, получим

+

Pa (t) = Am JZ Ък ,n Lk (v,a)exp(itv)exp(Jtxm )dv

0 k=0

+ад m л

Am JZ Ък, л Lk, л (U, ал ) exp( —itU ) exp( itxm )du

0 к=0

+

(25)

Проделав преобразования, аналогичные преобразованиям (14-16), получим

Pa (t) = Am — C0S Pn (cos txm + sin txm )Z Ък,n (—1)" [cos(^ + 1)(n + sin(2k + 1)(n ] +

k=0

+ Am

cos рл (cos txm + sin txm )Z Ък,л (—[cos(2k + 1)(л — sin(2k + 1)(л ](26)

k=0

Введем следующие обозначения: B(t) = cos txm, C(t) = sin txm

Dn(л) = ZЪк,п(л)(—1)k cos(2k + 1)pn(л)

k=0

mn (л)

£n(л) = ZЪк,п(л)(—1)k sin(2k + 1)pn(л)

k=0

2

0.8

а) действительная частьб) мнимая часть

Рисунок 2. Характеристическая функция закона Релея с параметром 8=1

0 45

- модельная характеристика-теоретическая характеристика

а) действительная часть

б) мнимая часть

Рисунок 3. Характеристическая функция закона Лапласа с параметрами a=1, u=1

а) действительная часть

б) мнимая часть

Рисунок 4. Характеристическая функция закона Симпсона с параметрами a=0, b=1 Теперь можно записать:

Repa(t) = — Am cospn[A(t) • Dn — C(t) • En] +—Am cosp[A(t) • Dn + C(t) • En], Impa(t) = — Am cospn[A(t)• En + C(t) • Dn] — — Am cosPл[A(t) • Ел — C(t) • Dn],

(27) (28)

2t2t

где pn = arctg—, рл = arctg—.

Рассчитанная по данным формулам характеристическая функция для трех типовых законов в сравнении с теоретической характеристической функцией представлена на рисунках 2, 3, 4. Получены следующие результаты:

-для закона Релея с параметром 8=1 СКО вещественной части составило 0,2556, а максимальная погрешность 0,0481; СКО мнимой части - 0,1006, максимальная погрешность - 0,0291;

-для закона Лапласа с параметрами a=1, ц=1 СКО вещественной части - 0,2479, максимальная погрешность - 0,0576; СКО мнимой части - 0,4144, максимальная погрешность 0, 1166. При ручной корректировке параметров аппроксимации плотности вероятности можно достичь для мнимой части СКО=0,2402, максимальной погрешности=

0,0483;

-для закона Симпсона с параметрами a=0, b=1 СКО вещественной части - 0,1810, максимальная погрешность - 0,0392; СКО мнимой части - 0,1341 максимальная погрешность - 0,0271.

Литература

1.Прохоров С.А., Иващенко А.В., Графкин А.В., Автоматизированная система корреляционно спектрального анализа случайных процессов. Уральск: «Экспо», 2003г. -

287с.

2.Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие. - М: Гардарика, 1998г. - 323с.