Эффект слабого микролинзирования и интерферометрия.

Сажин М.В., Пширков М.С (mpshirkov@mail.ru)

ГАИШ МГУ , Москва 119992, Россия

В работе рассмотрен эффект слабого микролинзирования в приближении физической оптики. Показано, что полученные результаты сводятся к уравнениям, выведенным ранее в пределе геометрической оптики. Эффект слабого микролинзирования приводит к появлению нестационарной картины при наблюдениях на интерферометрах. Выяснены характеристики наблюдений для получения неискаженных изображений, а также ограничения на точность определения координат источников и установления стабильной системы отсчета.

1.Введение

РСДБ (радиоинтерферометры со сверхдлинной базой) достигли очень высокой точности измерения координат радиоисточников [1], в некоторых случаях использование фазового метода измерения позволяет получить точность измерения угловых координат в пределах десяти микросекунд дуги [2], [3], [4]. В оптической астрономии исследователи также провели высокоточный астрометрический эксперимент Hipparcos [5]. Несколько новых высокоточных космических экспериментов, в основу которых . положен принцип интерферометра, находятся в стадии разработки [6], [7], [8].

В радиоинтерферометрии астрономы надеются нарастить размер базы интерферометра до расстояний, сравнимых с размером орбиты Луны, и, тем самым, повысить точность измерений координат еще на один порядок и достичь точности измерений в несколько микросекунд дуги [9], [10]. Измерения углов в астрономии вскоре достигнут точности, которая позволит измерить нестационарность пространства - времени в нашей Галактике, обусловленной движением звезд [11], [12], [13], [14], [15].

Влияние нестационарности пространства - времени на астрометрические наблюдения будет выражаться в случайном "блуждании" видимого положения небесного источника излучения вокруг среднего положения. Такие случайные "блуждания" будут у каждого источника, что вызовет трудности в практическом установлении инерциальной небесной системы координат в астрономии [13].

Задача о влиянии слабого эффекта микролинзирования на нестационарность пространства - времени и предельную точность наблюдений в астрометрии, обусловленную им, рассматривалась в [12], [13], [14]. Амплитуда случайных " блужданий" небесных источников в оценках различных авторов менялась от единиц и десятков микросекунд дуги [11] до нескольких сотен микросекунд дуги [12].

2.Решение уравнения эйконала в поле звезды.

Вычислим изменение фазы электромагнитной волны при движении в гравитационном поле сферически - симметричной звезды. Такая задача подробно рассмотрена в классических учебниках по общей теории относительности [16], [17]. Изменение фазы волны вдоль светового луча эквивалентно решению уравнений Гамильтона -Якоби для безмассовой частицы:

g^V dS 8S = 0(1)

dxM dxv

Хотя формально S является функцией действия, мы всюду ниже будем называть эту функцию эйконалом, или фазой волны вдоль траектории светового луча. В этом смысле мы не различаем определение эйконала волны в нерелятивистской физике S = at - kr + у и фазы у. Всюду ниже величину S = cot - kr + у будем называть фазой электромагнитной волны.

В случае метрики g ^v, описывающей сферически - симметричное гравитационное поле, существует точное решение уравнения даже для сильного поля. Оно подробно описано в книгах [16], [17], см. также [18]. Мы будем пользоваться приближением слабого поля, поскольку для эффекта слабого микролинзинрования только это приближение является важным.

В случае слабого поля метрика имеет вид:

Здесь r/juv -метрика Минковского, h^v - малые добавки к метрике, описывающие

гравитационное поле сферически - симметричного тела.

Можно решать уравнение (1) методом разложения по малому параметру в метрике (2). Мы поступим по другому. Рассмотрим точное решение уравнения (1) в поле Шварцшильда [16] и возьмем асимптотику этого решения для случая, когда расстояние от тяготеющего центра до луча света значительно больше, чем радиус Шварцшильда.

rga ( r Л

у/ = у/\ +—— arch —(3)

c Vp)

Здесь у - полное изменение фазы волны вдоль траектории луча света, у/[ -изменение фазы волны вдоль траектории луча света, соответствующее распространению света в приближении, когда влияние гравитационного поля равно нулю, rg - радиус

Шварцшильда притягивающего тела, a -частота света, r - некоторая точка на траектории луча, P -расстояние ближайшего подхода луча к звезде (прицельный параметр луча).

Сразу поясним, что изменение фазы из-за распространения волны в пространстве ,

мы рассматривать не будем. Мы будем рассматривать лишь изменение фазы волны из-за действия гравитационного поля, хотя это изменение и является малой добавкой к обычному изменению фазы при распространении волны в пространстве.

Отметим, что полное изменение фазы волны, соответствующее приходу луча из -<х>, проходу на минимальном расстоянии от тела и уходу на + оо получается склейкой двух решений [17]. В результате полное изменение фазы при распространении света от источника, прохождении мимо тяготеющего тела и распространении до наблюдателя получается как сумма двух решений. Первое - изменение фазы при распространении от источника света R- до места ближайшего подхода к притягивающему телу:

/ ч / ч rga (R- Л 5у/- = у/yr = R-)- y(r = p) = —— arch —(4)

c V p )

второе - изменение фазы при распространении от места ближайшего подхода к телу до наблюдателя R+

5у/+ = у/[г = R+)- у/у = p) = —— arch(5)

c V p )

Таким образом, полное изменение фазы, вызываемое тяготеющим центром, является суммой двух решений (4) и (5):

j

Р2

3. Измерения из двух положений

В этом параграфе мы будем рассматривать эффект слабого микролинзирования на звездах нашей Галактики и его влияние на изменение фазы лучей, которые идут от одного источника на разные концы базы интерферометра.

Задача, которую мы будем рассматривать здесь, очень похожа на задачу гравитационного линзирования. Поэтому мы будем использовать термины, общепринятые в теории гравитационного линзирования, которое читатель может найти в монографиях и обзорах, посвященных этому явлению [19], [20], [21], [22]. В частности, нам понадобится понятие плоскости линзы—плоскости, перпендикулярной лучу, соединяющему наблюдателя и источник света, которая проходит через линзу (в нашем случае через звезду, которая является дефлектором).

Общий принцип работы интерферометра заключается в том, что волновой фронт падает на две щели, проходит сквозь них и после этого возникает интерференция в области перекрытия двух пучков от щелей. В дальнейшем будем называть эти две щели входом интерферометра и рассчитывать влияние гравитационного поля на разность фаз только до входа. Будем обозначать длину базы через b и полагать эту длину постоянной. Ориентация базы в пространстве может быть произвольной, в частности, некоторой функцией времени.

Будем считать, что скорость вращения вектора базы (одного конца базы относительно второго), разделенная на скорость света, не превышает точности измерений разности фаз. В этом случае вращение вектора базы не повлияет на наши выводы. Разность фаз на одном конце базы и на другом конце базы можно вычислить по уравнению (6). Поэтому будем говорить о двух лучах, которые выходят из источника и приходят на два разных конца базы интерферометра. Положение источника (величина R_) одинаково, а положение приёмников R+ - разное для разных концов базы. Кроме того, прицельный параметр (величина р) имеет свою величину для каждого из двух лучей. Поэтому прицельный параметр каждого из лучей будем помечать индексом (р1 или Р2 ). Будем также помечать индексом положение концов базы и писать (R1 или R2) вместо R+.

Поскольку arch(x) = lnl x + Vx2 _ 1 I, то изменение фазы луча, вызванное звездой,

ln

имеет логарифмическую зависимость от R+ и р . Поэтому разность фаз первого и второго лучей будет определяться величинами вида:

—- и ln J1J- . R2 j Vp2 j

Соответственно, вклад каждого из этих членов в общий сдвиг фаз будет пропорционален Ст>. вЛ

ln

и

R1 _ R2

V R1 J

(в первом случае)