то на основе тождества (2) получим

Поскольку

МА = £ щ^г = £ ЩгХг + £ ЩгА

£ ЩХ +

МА ,

то

£ щх = о, а также £ щу = 0, £ щ^ = 0.

Теперь момент инерции (1) принимает форму

£ щЯ2 = М(А + Б2 + C2 ) + £ щ(х2 + y2 + z2),

где

М(А2 + Б2 + C2) = MR2m

£ Щг ( Хг2 + Уг2 + Z? )=М vj

(6)

М - масса шара; Rm и rm - радиусы инерции шара, описывающие сферические поверхности с сосредоточенной и распределенной массой, которые определяют момент ее инерции в солнечной и собственной инерциальной системе отсчета.

Таким образом, момент инерции вращающейся вокруг Солнца массы шара в инерциальной системе отсчета мы разложили на два алгебраических слагаемых. Первое (5) представляет момент инерции шара в солнечной системе отсчета Ос^т]С- Второе слагаемое (6) представляет момент инертной массы шара в собственной системе отсчета Oxyz. Этот момент инерции может определяться в любой системе отсчета с началом в центре масс О. Учитывая симметрию одномерного шара, примем полярную систему отсчета с началом в центре О. Тогда выражение (6) для полярного момента инерции шара Ip примет вид

!p = £Щг ( Хг2 + Уг2 + Z2)= £Щг Гг2 = МГщ2.

Откуда радиус инерции rm , описывающий сферическую поверхность, будет

М

Здесь М = £ mt - масса шара относительно собственной системы отсчета. При сферической симметрии шара выражение (8) можно записать в виде

rm2

m

М

МЯ

или

R

4nJ r 4 p(r )dr

4ш1 = _J_= PMR3 =в2(10)

4nR2MR2MR2

откуда

rm2=e2R

где p(r)- закон радиального распределения плотности массы шара; R - его радиус; в2 -безразмерный численный коэффициент, представляющий отношение поверхностей оболочек с приведенным радиусом сфероида инерции rm и шара радиусом R.

Значение в в зависимости от закона распределения плотности p(r) изменяется в пределах 1 > в >0. Этот коэффициент мы ранее назвали структурным форм-фактором момента инерции [15].

Аналогичным образом получим выражение для приведенного радиуса сфероида сил тяжести rg как отношение момента сил гравитационного взаимодействия масс оболочек шара с радиальной плотностью p(r), к моменту сил взаимодействия массы шара, распределенной по его внешней оболочке с радиусом R, т.е.

2\rp(r )m(r )dr а2

^ = r 0 2-=-R2- =а2.(11)

222

4п R2GM2GM-

R2R2

Выражение для радиуса тяготения, записанное через силовую функцию, будет

2

R

4nGJrp(r)m(r)dr a GM

4n R2GM2GM

g =-0-=-= a2,(12)

RR

r

где в соотношениях (11) и (12) m(r) =4nJ r2 p(r )dr.

0

Безразмерный коэффициент ос2 = rg2/R2 есть отношение площадей поверхности сфероида сил тяжести с приведенным радиусом rg и радиусом шара R. Его значение зависит от закона распределения плотности p(r) и изменяется в пределах 1 > оО >0. Ранее [15] коэффициент оО был назван структурным форм-фактором силовой функции.

Численные значения безразмерных структурных коэффициентов оО и в для некоторых законов радиального распределения плотности p(r), полученные путем интегрирования выражений (10) и (12) для полярного момента инерции и силовой

функции, представлены в табл. 1 [15]. Заметим, что значения полярного Ip и осевого Ia моментов инерции одномерного шара связаны соотношением Ip=3/2Ia .

Таблица 1. Численные значения форм-факторов а и р2 для радиального распределения плотности массы и политропных моделей шара

Из таблицы видно, что для однородного шара, где p(r)=const., приведенные радиусы инерции и тяготения совпадают. Их безразмерные структурные коэффициенты а и в2 численно равны 3/5, вращательные моменты сил тяжести и инерции уравновешиваются и поэтому вращение масс отсутствует. Так что

r2 r2 3

12- = S- = -(13)

откуда

rm = rg = V3/5R2 = 0,7745966R.(14)

Для неоднородного по плотности шара при p(r) ^ const из (10)-(12) имеем