4ш2 3 4яг2

0<-^mr < - <-g-<1,(15)

4nR2 5 4nR2

Из неравенства (15) и табл.1 видно, что у неоднородного шара по сравнению с однородным при возрастании плотности к центру радиус инерции уменьшается, а радиус тяготения увеличивается. Так как rm ^rg и rm< 0,77R < rg , то между объемными силами взаимодействия масс оболочек шара и силами их инерции появляется неуравновешенный вращающий момент. Теперь из соотношения (15) следует, что

Гп = Гпо Srmt и rg = +8rgt ,(16)

где индексы 0 и t относятся к однородному и неоднородному шару.

Согласно (15) и (16) вращение оболочек одномерного шара будет не твердотельным, а оболочечным и асинхронным. При возрастании плотности масс к поверхности знаки в выражениях (15) и (16) изменятся на обратные. Это замечание имеет важный физический смысл, поскольку характер распределения плотности определяет прямое и обратное направление вращение тела.

Основной вывод, который следует из приведенного выше рассмотрения состоит в том, что поле сил самогравитирующего тела приводится не к равнодействующей силе, проходящей через геометрический центр симметрии масс, а к давлению сил по замкнутой поверхности сфероида (эллипсоида). В случае однородного тела приведенные радиусы гравитации и инерции совпадают, а моменты вращения гравитационных и инерционных сил уравновешиваются. У неоднородного по плотности тела приведенные радиусы инерции и гравитации не совпадает. Между силами взаимодействия и инерции образуются неуравновешенные момент вращения и возникает сжатие оболочек. В приводимом ниже аналитическом рассмотрении задачи мы определим некоторые параметры той и другой системы.

Динамическое равновесие движения и уравнения вращения и колебания

В небесной механике и геофизике для выражения силовой функции и момента инерции неоднородного шара и эллипсоида вращения обычно прибегают к разложения этих величин в ряд по сферическим и эллиптическим функциям. Анализ результатов измерения гравитационных моментов Земли с помощью искусственных спутников показал, что все четные моменты в разложении потенциала по сферическим функциям, кроме второго, содержат член, равный квадрату сжатия планеты [3]. Соотношения (15)-(16) выражают ту же идею. Больше того, они говорят о том, что для решения задачи о динамике неоднородного самогравитирующего шара его силовую функцию и

полярный момент инерции можно разложить на составляющие, которые соответствуют однородной по массе плотности и ее неоднородностям. Эти составляющие согласно принципу суперпозиции определяют нормальные и тангенциальные динамические эффекты неоднородного тела. Такое разложение для безразмерных структурных коэффициентов оО и в 2 было выполнено Гарсия Ламбасом с соавторами [17] в нашей физической интерпретации [15]. Для разложения использована вспомогательная функция относительного радиального изменения плотности шара вида

Ч>( s ) = j fei^lx Чх,

о Po

где s = r/R - отношение текущего к полному радиусу; po - средняя плотность шара радиусом r ; pr - радиальная плотность неоднородного шара; х - текущая координата;

R

значение (pr - po) удовлетворяет условию j" (pr - po )r2dr = 0, а функция Ч/(1)=0.

o

Видно, что функция *F( s ) выражает радиальное изменение плотности массы неоднородного шара относительно ее среднего значения на расстоянии r/R. После замены переменных с помощью этой функции выражения потенциальной U и кинетической энергии K=Jpa> неоднородного самогравитирующего шара разлагаются в форме [16, 17]

U= о

R

3 + 3J"—dx + — j"f— J dx

2 J V x

GM2(17)

2 „2

K= в MR2 a

1

— 6 j" —dx

R

j

MRV.(18)

или после соответствующего приведения

2 2 2 GM2

U=(o0o + oOt + оОг)——,(19)

R

K=(e02-2et2)MR2co2,(20)

где о00 = во и 2oOt = вв, а индексы o, t, у означают радиальную, тангенциальную и диссипативную компоненты рассматриваемых величин.

Поскольку потенциальная и кинетическая энергии однородного шара равны между собой (а02=в02=3/5) , то

Uo = K0,(21)

E0 = U0 + K0 = 2U0.(22)

Для выражения динамического равновесия между потенциальной и кинетической энергией взаимодействия неоднородностей с однородной массой из (17)-(18) имеем

2

0

E = Ut + Kt =3Ut

2Ut = Kt

(23) (24)

где E0, Et ,U0, K0, Ut, Kt - полная потенциальная и кинетическая энергия колебания и вращения соответственно.

Уравнения (21)-(24) представляют выражения усредненной теоремы вириала для самогравитирующей однородной и неоднородной систем, которые определяют условия их динамического равновесия [4]. Потенциальная энергия UY взаимодействия самих неоднородностей теряется с граничной поверхности тела в виде излучения и является механизмом эволюционных процессов, которые непрерывно происходят.

Из эффектов взаимодействия однородной и неоднородной по плотности массы находим, что, как и следует из классической механики для диссипативных систем, вращательный момент сил N неоднородной гравитирующей системы относительно ее центра масс не равен нулю, угловой момент L системы не является постоянной во времени величиной, а энергия непрерывно расходуется при движении системы во внешнем поле на преодоление сопротивления трения и на поддержание равновесия в пространстве, т.е.

N = — ф 0, L Ф const., E Ф const. >0. dt

Система физически не может быть консервативной, если в ней присутствует трение или иные диссипативные процессы, поскольку из-за них величина Fds будет всегда положительной, а интеграл не может исчезнуть, т.е. [19]

Теперь, после того как найдено, что результирующая внутреннего гравитационного поля не равна нулю и что динамическое равновесие системы определяется вириальным соотношением между потенциальной и кинетической энергией, могут быть записаны уравнения движения самогравитирующего тела.

Ранее для описания и исследования движения однородного и неоднородного самогравитирующего шара нами использовалось вириальное уравнение Якоби [10, 15, 18]. Якоби (1884) вывел его из уравнений движения Ньютона для системы n взаимодействующих точечных масс и свел задачу многих тел к ее частному случаю - к задаче одного тела с двумя независимыми переменными вида [2,15]

где Ф=1/21 - функция Якоби; I - полярный момент инерции; E = U + K - полная

jF • ds > 0.

Ф = 2 E - U

(25)

энергия; U и К - потенциальная и кинетическая энергия системы.