Уравнение (25) выражает закон сохранения энергии системы и описывает ее поведение в скалярных интегральных характеристиках U и Ф. Было показано, что кроме уравнений Ньютона, оно также выводится из уравнений движения Эйлера для сплошной среды, а также из уравнений Гамильтона, Эйнштейна и квантовой механики [15]. В русской литературе уравнение (25) известно как уравнение Лагранжа-Якоби, поскольку при его выводе Якоби использовал тождество Лагранжа (2) для разделения движения системы n материальных точек на движение их центра инерции и относительного движения тех же точек вокруг него. При усреднении движения по времени, когда Ф =0, уравнение (25) принимает форму и содержание уравнения

теоремы о вириале сил Клаузиуса. Как известно, Клаузиус выводил эту теорему в приложении к термодинамической задаче кинетической теории газов и, в частности, применительно к условиям появившихся в то время машин Карно, которые реально работали во внешнем для этих машин поле сил тяжести Земли. В этой связи, для кинетической энергии системы газ - камера сгорания машины в выражение для кинетической энергии был введен коэффициент 1/2. Так что при обозначении суммарной кинетической энергии, которую тогда называли "живой силой", появился коэффициент 1/2, т.е.

K = - V mv2.

Как отмечал сам Якоби [10], смысл этого коэффициента состоит в том. что у машины Карно учитывалась только та работа кинетической энергии, которая оплачивалась, т. е. работа, совершаемая машиной, а не силой тяжести Земли. Например, при работе парового молота для забивки свай в машине учитывалась и оплачивалась только кинетическая энергия, необходимая для подъема молота, а энергия его падение происходила за счет силы тяжести в поле Земли и она не оплачивалась. Выше в (21)-(22) было показано, что в случае движения тела в собственном силовом поле коэффициент 1/2 исчезает, поскольку в этом случае тело движется только за счет собственной энергии.

Нами было найдено приближенное решение уравнения (25) для неоднородных гравитирующих систем с высокой симметрией распределения плотности массы, для

которых Ц~~/ф = const. [15]. Теперь, после разложения силовой функции и момента инерции тела, при UY= 0 мы получим строгое решение уравнения движения (25), записав с учетом (22) и (24) два уравнения для радиальной и тангенциальной составляющей в виде

Ф 0 = 2 E0 - U 0-

Ф t = 1 Et - Ut.

(27)

Учитывая найденную строгую связь (21) и (23) между потенциальной энергией и

2 и 2cc2t = pt2, уравнения (26) и (27) приводятся к уравнению с одной неизвестной вида

моментом инерции через структурные коэффициенты cC0 = в0 и

Ф = - A +

B

Ф

(28)

где А и В - постоянные величины.

Общим решением уравнения (28) в полярной системе отсчета будет [17]

B

4Ф = a [1 -scos(£- Ф ) ] ,

3/2 [ £ - s sin ( £ - ф ) L

t =

A1 4 B

(2 A)3

(29)

(30)

где s и ф - постоянные интегрирования, зависящие от начальных значений функции Якоби Ф и ее первой производной Ф в момент времени t0 ; £ -вспомогательная независимая переменная; A = А0 = -1/2 E0 >0, B = В0 = U0yjФ0 для

радиальных колебаний; и А = At = -1/3 Et>0 , В =Bt =UtyjФt для вращения.

Выражения для функции Якоби и ее первой производной в явном виде получим после соответствующих преобразований в форме рядов Лагранжа [15]

Ф

Ф

В2

A a

iL

2

4

cos2L--cos3L +.

2

Частота колебания coor и угловая скорость cotr оболочки на радиусе r будут [15]

(2 A0)3 4B0

Uo

\c2orGMr

B2r3

r or

(2 At) 4Bt

3/2

2Ut

2alGMr k

ЛО p0rker

(31) (32)

где U0r и Utr - радиальная и тангенциальная компоненты силовой функции (потенциальной энергии); J0r и Jtr = 2/3J0r - полярный и осевой момент инерции;

I

coor =

J

or

p0r = — fp(r)dVr; p(r) - закон радиального распределения плотности; p0r - среднее

V

r Vr

значение плотности шара радиусом r; Vr- объем шара радиусом r; 2о0tr=/3tr2; ker -безразмерный коэффициент, учитывающий эффект динамического сжатия оболочек.

Выражения (29)-(32) представляют законы движения Кеплера. При однородном распределении плотности массы частота колебания всех оболочек шара будет единой.

Вращение каждой оболочки зависит от ее плотности и приливного трения со стороны внутренней массы, определяемого коэффициентом ker . Его значение для внешней оболочки определится из выражений (31) - (32) и будет равно отношению частоты радиального колебания к угловой скорости, т. е.

22

k

По наблюдательным данным не трудно найти, что значения ke для тел Солнечной системы соответствуют величинам динамического сжатия этих тел.

Найдено, что безразмерный коэффициент ke е[0,1] в случае трехосного эллипсоида с осями a, b, c для эллипсоидального закона распределения плотности равен [15] k = F (ф, f ) /а1 + b2 + c c

где ф = arcsin.^--— , f=

sine / 3а2

2 - b2

а F(e,f) - неполный эллиптический интеграл

22

a - c

a1

22

a2- c2

первого рода в нормальной форме Лежандра.

Колебание и вращение Земли

Итак, в дополнение к уже полученному ранее решению о радиальных колебаниях Земли [15], теперь мы имеем строгое решение о ее вращении. Из формулы (31) видно, что радиальное колебание оболочек тела не зависит от фазового состояния массы и определяется ее средней плотностью. Корректность выражения (31) подтверждается результатами наблюдений. Так, период радиальных колебаний внешней оболочки Земли по формуле (31) и по нашим измерениями равен ~1.4часа [8, 9, 15], а Солнца по формуле (31) и по измерениям - ~2.8 часа [7].

Период вращения внешней оболочки Земли по формуле (32) равен ~ 24 часам. Здесь коэффициент геодинамического сжатия ker = 1/289.37 принят по данным измерения гравитационных моментов с ИЗС [6].