f(z) =

a_1z,z <a

(1-a-z)/(1-2 a), a<z< (z-1+a)/a,(1-a) < z

1.Переключатель

Для переходов между разными режимами активности предлагается модель переключателя, которую для самого простого случая можно записать в виде системы:

—= F (x, t )v(1 - v) dt

dx(1)

—= vA( x, t) + (1 - v) B( x, t) dt

где v - переменная, отвечающая за переключение, в первом уравнении имеет два состояния равновесия: 0 и 1, устойчивость которых зависит от знака функции F(x,t); x - сигнал, который изменяется по закону A(x,t), если v=1 или по закону B(x,t), если v=0. Таким образом, вводя в систему знакопеременную функцию F(x,t), мы получим переход системы из области влияния закона A(x,t) в область влияния закона B(x,t). A(x,t) и B(x,t) задаются соответственно поставленной задаче.

2.Генератор шума и генератор Ван-дер-Поля

В нормальном состоянии сигнал, снятый с поверхности головы, носит скорее хаотический характер. Поскольку способностью выходить на хаотические режимы обладают динамические системы, размерность которых больше двух, то для моделирования сигналов, имеющих сходство с временным рядом МЭГ, воспользуемся системой 3-го порядка - так называемым простым генератором шума [3,7]. Уравнения движения этой динамической системы записываются следующим образом:

d x

—= 2 h x+y - g z dt

dy dz

5— = x - f(z)

dt

Здесь h - инкремент нарастания колебаний, в отсутствии нелинейных элементов; g -параметр, определяющий степень влияния нелинейности; 5 - малый параметр, 5 <<1; f(z) -задана кусочно-линейной аппроксимацией:

Рис.3

Для нашей задачи мы воспользуемся изменением состояний равновесия системы в областях параметров II и III. В этих областях у системы (5) существует только три состояния

Второй режим, который мы видим на экспериментальном сигнале, снятом у пациентов с патологией, отличается повышенной спонтанной кратковременной активности. Довольно часто для описания подобных режимов с четкими квазигармоническими колебаниями используется автогенератор Ван-дер-Поля. Это известное дифференциальное уравнение второго порядка, которое записывается в виде системы следующим образом:

—=Г(1 -y )x-y

Ш(4)

dy

—= x dt

3. Триггер

При моделировании колебательных процессов в биологии и химии довольно часто используются системы, имеющие два или несколько устойчивых состояний равновесия, так называемые триггерные системы [1,3,4]. Для параметрического переключения между рассматриваемыми режимами воспользуемся триггерной системой, которая в экологии описывает конкуренцию между двумя видам [1,3]:

du2

—= u - a1u w - u

dt(5)

dw2

—= w + a2 uw - w dt2

В зависимости от соотношения между параметрами aj и a2 (рис.3) система (5) имеет четыре различных фазовых портрета. Мы остановимся только на двух областях параметров, которые будут использоваться в нашей модели.

аб

Рис.4

Фазовые портреты системы (5) в областях параметров II и III.

Таким образом нам нужно добиться соответственного изменения параметров cii и а2, чтобы изменялась устойчивость узлов и система переходила от одного стационара к другому.

4. Динамическая система триггерного типа с неспецифическим переключением между режимами

Для реализации параметрического (неспецифического) переключения системы между режимами воспользуемся тем фактом, что при переходе параметров а\ и а2 из области II в область III или наоборот, состояния равновесия, а именно узлы, расположенные на осях фазовой плоскости изменяют свою устойчивость. Т.е. фазовые траектории будут притягиваться то одним рассматриваемым стационаром, то другим. Такое изменение параметров мы можем получить, записав их в виде переменных гармонического осциллятора - последние два уравнения системы (6). Пользуясь тем, что значение переменной w при этом будет переходить от 1 к 0 и обратно, в зависимости от области работы триггера, будем считать, что именно эта переменная в нашей задаче - переменная переключения. Используя модель переключателя (1), записываем как закон А(х,Х) - генератор шума, закон B(x,t) -

равновесия и лишь одно из них устойчивое - устойчивый узел на одной из осей фазовой плоскости. В области II этим устойчивым узлом становится состояние равновесия, расположенное на оси Ow фазовой плоскости (рис.4а: а/=1.2, а2=0.5). В области III устойчивым становится узел, расположенный на оси Ou (рис.4б: а;=0.5, а2=1.2):