Формы локализации ридберговских волновых

пакетов.

Е. А. Шапиро

Институт Общей Физики РАН

117942, ул. Вавилова, 38, Москва, Россия, e-mail: zheka@gon.ran.gpi.ru

1. Введение.

Локализованные квантовые состояния (волновые пакеты) изучаются с первых лет существования квантовой механики. Несмотря на это, такие состояния привлекают все большее внимание в последние годы. Причина этого в том, что волновые пакеты - это квантовые состояния, наиболее близкие к классическим частицам. Это объекты, проявляющие и классические, и исключительно квантовые черты. Поэтому, с увеличением экспериментальных и технических возможностей, вопрос о практическом создании волновых пакетов и управлении ими становится все более актуальным во многих областях - от микроэлектроники до химии, В частности, большое внимание в последние годы было привлечено к волновым пакетам, возникающим в ридберговских (высоковозбужденных) атомах. Такие пакеты исследовались как теоретически, так и экспериментально [1, 2, 3].

Волновые пакеты возникают во многих процессах как суперпозиции квантовых состояний с различными квантовыми числами. Часто, когда в том или ином процессе рассматривается суперпозиция квантовых состояний, желательно иметь простое средство для того, чтобы ответить на такие вопросы, как: есть ли локализация волновой функции в системе с несколькими степенями свободы, какова она, соответствует ли такая локализация какой-либо классической модели, и какова динамика локализованного состояния. В данной работе предлагается довольно простой способ ответить на эти вопросы на качественном уровне. Такой ответ может часто облегчить понимание физики задачи, подчеркивая соотношение между классическими и квантовыми чертами задачи, В текущей литературе подобный метод не обсуждался.

В классической механике поведение интегрируемых систем часто описывается с помощью координат действие-угол, В этом случае, как известно, делается переход в такую систему отсчета, в которой импульсами являются интегралы движения, а сопряженные им координаты — углы — изменяются во времени линейно. Если известны действия и сопряженные им углы, то про движение классической системы все известно. Однако, строгое определение квантовых координат действие-угол сопряжено с математическими трудностями. Использование квантовых координат действие-угол недоста-

точно просто, и, в связи с этим, они не могут использоваться как простой инструмент для анализа свойств волновой функции,

В данной работе показывается, каким образом классические координаты действие-угол могут быть с удобством использованы для анализа локализации и динамики квантовых состояний. Для этого, в Разделе 2 обсуждается, в каком смысле классические координаты действие-угол могут описывать квантовое состояние. А именно, волновая функция представлена в виде, выделяющем классические действия и углы, и показано, как подобное описание может быть применено к волновым пакетам. Такой подход оказывается особенно удобным для описания систем с несколькими степенями свободы. Предлагаемый метод более детально пояснен в Разделе 3 на примере двумерной кулоновской задачи. В этом же разделе проанализированы локализация и динамика различных ридберговских волновых пакетов в двумерной задаче. Почти все эти пакеты рассматривались ранее, однако единый подход их описанию предложен не был. В частности, упрощенное понимание структуры некоторых пакетов иногда приводило к неверному представлению об их локализации. В Разделе 4 кратко суммируются результаты работы.

2. Квазиклассическое представление углов.

Как известно [4, 5], квазиклассическую волновую функцию интегрируемой системы можно построить следующим образом. Рассмотрим лагранжево многообразие Г соответствующей классической системы — то есть, множество точек в фазовом пространстве, достижимых при движении с одними и теми же интегралами движения и с различными начальными условиями. В случае финитного движения, лагранжево многообразие эквивалентно многомерному тору [5, 6]. В случае одномерного движения, Г- это траектория в фазовом пространстве. Для того, чтобы систему можно было проквантовать, необходимо, чтобы Г удовлетворяло правилу квантования Бора-Зоммерфельда (см. ниже). Квазиклассическая ненормированная волновая функция в произвольной точке г, лежащей в классически разрешенной области далеко от особенностей (точек поворота), определяется как [5]

Ф(г) = 53 del

d2S

drdJ

1/2

expft^-St-тг7вт/2)] =>(!)

где S - действие, J = {./,• }• — набор интегралов движения, гуат - индекс, характеризующий точку ат и зависящий от особенностей Г (см. [4]), и {ат} - набор точек на Г, проектирующихся в заданную точку г. Очевидно, что число таких точек /// = 2Nosc, где Nosc - число степеней свободы, по которым система совершает колебательное движение. Здесь и далее мы считаем h = 1.

В интегрируемой системе можно ввести координаты действие-угол. В этом случае, в качестве импульсов выступают интегралы движения (действия) J, а в качестве сопряженных им координат — углы X = {ХЛ = < ——-

V lr=const>

нормируются таким образом, что Aj меняются при классическом движении линейно от

[5, 6]. Действия и углы

О до 2тт. По правилу квантования Бора-Зоммерфельда, J = п + 7/4, где 7 = {~ v}■ - набор масловских индексов, соответствующих различным базисным циклам [4].

Рассмотрим теперь суперпозицию состояний с квантовыми числами п, достаточно узко расположенными вокруг набора п0, и с амплитудами Сп. Для каждого из этих состояний, действие в точках соответствующего лагранжева многообразия om(r), проектирующихся в точку г, равно

и SZ + (п - п0)А ,(2)

где >" — действие в точке и,,, при классическом движении с J = п + 7/4.

Фаза классического движения по орбите А в заданной точке г почти не меняется при слабом изменении J, Поэтому волновую функцию суперпозиции состояний можно приближенно считать равной

ф(м) = Е

, ЗА det — or

1/2

exp[?FaJ х Ф

а

В формуле (3) А (г) оценивается при п = п0, и

ФА(А,г) = £С7пег(п№) ;(4)

п

где /-."„ — энергия при классическом движении с J = п + 7/4. Функция /• = >" — п0А — 7ато7г/2 содержит в себе производящую функцию классического канонического преобразования к координатам действие-угол при J = п0 + 7/4, равную >"•; — JA [6], а также дополнительную фазу ^7ато7г/2 + 7А/4.

В формуле (3) выражение для волновой функции для каждой из точек агп разбито на две части. ФА характеризует только квантовое состояние, заданное набором амплитуд Сп- Второй член, содержащий предэкспоненциальный множитель и экспоненту в формуле (3), характеризует г—представление, в котором записана волновая функция. Мы считаем, что он не зависит от набора квантовых чисел, поскольку А (г) очень слабо меняется при слабом изменении J.

Далее мы будем говорить, что Ф \ задает волновую функцию в представлении углов Aj. Такая терминология, не будучи абсолютно точной, соответствует общим принципам построения квантовых координат действие-угол [7, 8, 9].

Поскольку функция Фд находится как преобразование Фурье амплитуд состояний („(ее локализацию описать довольно легко. При этом, если функция Ф \ силь-

но локализована в области каких-то значений А(£), то, очевидно, Ф(г) локализована в области г(А(£)).

В том же случае, если функция Фа (А) не является сильно локализованной (например, если ширина локализации ДА > 7г), квантовое состояние может быть удобнее выразить как

ФМ) = ЕФа1М)ДАато,*) ,(5)

dm

где /(А. /) = Ф \ х e-<noA--E„0t)5 фпо — слагаемые, соответствующие разным точкам ат в формуле (1) для состояния с набором квантовых чисел п0.