| ||||
|
Главная страница » Энциклопедия строителя содержание: [стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] страница - 1 Можно интерпретировать формулу (5) следующим образом. Квазиклассическую волновую функцию можно представить себе распределенной на Г (в одномерном случае — на фазовой траектории), и затем спроектированной в r-пространство с добавлением предэкспоненциального множителя. При этом осцилляции волновой функции в зависимости от г возникают из-за интерференции членов, соответствующих различным листам Г. Такая интерпретация ("подход Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера" [5]) заложена в формуле (1), где действие вычисляется на точках /. проектируемых в г. Согласно же формуле (5), "волновой пакет" есть огибающая, движущаяся по Г и модулирующая центральное состояние пакета. Форма и динамика этой огибающей задается функцией /(А, £). В частности, если /(А) локализована на одном листе лагранжева многообразия (на одной ветви фазовой траектории), то интерференции членов, соответствующих различным ат нет, и волновая функция пакета не имеет осцилляции, характерных для собственных состояний. Таким образом, рецепт описания пространственной локализации волновой функции суперпозиции квантовых состояний таков. Следует выяснить геометрический смысл классических углов, соответствующих квантовым числам задачи. Затем надо записать волновую функцию суперпозиции состояний в представлении углов (4), либо (что, фактически, то же самое) определить модулирующую функцию / в формуле (5). Локализация Фд и-"1 и / в некоторой области углов определяет локализацию волновой функции в соответствующей этим углам области координат. В следующем разделе мы проиллюстрируем применение этого принципа на примере различных двумерных ридберговских волновых пакетов. С помощью предлагаемого метода, будет проанализирована локализация волновой функции в различных пакетах, и затем этот анализ будет проиллюстрирован с помощью численных расчетов. 3. Двумерная кулоновская задача. В этом разделе будут рассмотрены различные ридберговские волновые пакеты, возникающие в двумерной кулоновской задаче. Такая модельная задача часто используется для описания электронных состояний с большим квантовым числом т ~ / в таких полях, где движение электрона остается почти плоским [10, 11, 12, 13, 14]. Движение электрона в классической двумерной кулоновской задаче можно описать с помощью следующих двух пар переменных действие-угол [15]. Первая пара состоит из углового момента ■/„, = />,, и сопряженного ему угла фху, обозначающего угол между направлением на перигелий орбиты электрона и фиксированным направлением в плоскости ху. Вторая пара состоит из действия Jn = рф + (1/27г) §prdr и сопряженного ему угла 0 - средней аномалии электрона, дающей его позицию на эллипсе. Орбита классического электрона в двумерной кулоновской задаче - это эллипс с полуосями, равными J2 и JnJm и с фокусом на ядре атома. Средняя аномалия в пропорциональна площади, заметенной радиус-вектором электрона при классическом движении. Значение 0п = 0 соответствует внутренней точке поворота, а во = 7т — внешней. При классическом движении #=^1/2j2, фху = 0, в = и>к = 1/4 .(6) При квантовании, по правилу Бора-Зоммерфельда, Jn = n +1/2, п = 0. 1.2....(7) Jm = m, т=—п,...,п .(8) При классическом движении, двумерный электрон совершает колебания только по одной из двух полярных координат — по радиусу. Квазиклассическая волновая функция в произвольной точке г классически разрешенной области задается суммой двух членов, соответствующих движению электрона по двум эллипсам, проходящим через точку г (Рис.1). В формуле (1), индексы jam для этих двух членов отличаются на единицу. Волновая функция Ф \ этих двух членов равна, соответственно, Ф^то12 = ехр[гИ1,2 + ^1,2^ад] ,(9) где /-."„ = —1 /2((п + 1/2)2), фхуъФху2 — углы наклона двух эллипсов, и 0\ = — ()■> — средние аномалии, характеризующие точку г при движении по первому или второму эллипсу. Вычислив, численно или аналитически, для каждого эллипса в каждой точке действие S и координаты в и ф , можно найти функцию F в формуле (3). Для того, чтобы точно вычислить квазиклассическую волновую функцию суперпозиции состояний с различными пит,, надо было бы через точку г для каждой пары п, ш провести два эллипса с полуосями .// и ./„ ./„,. на каждом из них найти значение действия в точке г и вычислить предэкспоненту в формуле (1), и затем все значения собственных волновых функций просуммировать с нужными коэффициентами, В приближенном выражении (3) считается, что все эллипсы для различных п и т — такие же, как и для центрального состояния щ,т$. В этом случае достаточно через точку г провести только два эллипса, вычислить на каждом из них Ф \ = Sn,™ Сп,™ехр[г(п(9 + тфху — Ent)], и затем подставить в формулу (3), используя функцию /•. найденную для центрального состояния. Согласно же выражению (5), для описания волнового пакета вообще не нужно вычислять квазиклассическую волновую функцию суперпозиции. Достаточно знать волновую функцию одного центрального состояния Ф"0,т°(г) — функцию, точный вид которой хорошо известен [16], и которую легко найти численно, не пользуясь квазиклассическим приближением. Волновая функция пакета Ф(г,£) есть Ф"°то(г), промо-дулированная огибающей f(9,(j>xy,t) = Флехр[^г(по0 + гщфху — Enot)]. Функция Ф(г,£) более локализована там, где локализована f(9, фху, t). Зная геометрический смысл углов 9 и фху, несложно предсказать область и степень локализации волновой функции. Наличие или отсутствие интерференционной картины в области локализации зависит от того, какой относительный вклад в волновую функцию в той или иной точке вносят оба набора углов 9\,фху\ и 92,фху2, соответствующие этой точке - то есть, от степени локализации функции /. Именно этот последний подход будет подразумеваться далее при интерпретации вида локализации волновой функции суперпозиций состояний. Далее в этом разделе будут рассматриваться различные волновые пакеты в двумерной кулоновской задаче. Качественно, с помощью рассмотрения в представлении углов, будет предсказана форма локализации различных пакетов, В качестве иллюстрации, мы численно находим волновые функции пакетов, используя точные (не квазиклассические) выражения для собственных состояний атома. Как первый пример волнового пакета, рассмотрим суперпозицию квантовых состояний с одним и тем же моментом то, и с амплитудами, имеющими гауссово распределение по п: Фгшр = 5>хр п Поскольку преобразование Фурье от гауссиана - это гауссиан, функция Фл(0, </>) ( а значит, и /(9,ф)) локализована по 9 около 90, и не локализована по фху. В волновую функцию такого состояния вносят вклад все возможные эллипсы, а на каждом эллипсе — области 9 близкие к 90. Это значит, что Ф""р(г) должна быть локализована по радиусу около г(90), и не локализована по полярному углу. Подобные состояния называют "радиальными волновыми пакетами" [1, 2, 17]. На Рис.2 а показан пример волновой функции радиального волнового пакета. Здесь «о = 19, то = 15, <7 = 3, 9о = тг/3. Вычисленная без использования каких-либо приближений волновая функция суперпозиции на Рис.2 а локализована по радиусу, и не локализована по углу, что соответствует предсказанию, данному с помощью нашей теории. Радиальные волновые пакеты создавались экспериментально с помощью коротких оптических импульсов с широким спектром [1, 2]. Подобные же состояния возбуждаются в сильном поле за счет рамановских связанно-связанных переходов через континуум [17]. Кроме того, подобные состояния могут быть созданы в микроволновом поле с частотой, близкой к сок [10, 18]. Для описания динамики радиального волнового пакета, разложим, как это обычно делается, энергию Еп с точностью до второго порядка около ЕПо: En = Eno + E>N+^-N2 , где N = п - п0, Е = = -l/(n0 + 1/2)3, Е" = 3/(n0 + 1/2)4. Согласно (4), для ФА — 19оЫ — о о{п - Щ) (10) содержание: [стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] |
|||
© ЗАО "ЛэндМэн" |