100 a.u.

Рис. 2. Волновые пакеты двумерной кулоновской задачи, а. Радиальный волновой пакет, б. Эллиптическое состояние, е. Волновой пакет на эллиптической орбите, г. Состояние Ф( . Пунктирная линия соответствует кривой в + фху = 0.

получаем:

i[no6+motp-Enot]

(t) = e

^2 exp [-N2(l/a2 - iE"t/2) + iN{9 - в0 - ukt)]

N

(H)

Отсюда видно, что волновая функция Wwp представляет собой невозмущенную волновую функцию состояния с квантовыми числами щ, гщ, промодулированную гауссовым волновым пакетом, движущимся по в (т.е. колеблющимся по радиусу) с частотой ик-Этот пакет расплывается за характерное время tspr = 2/(о2Е"), и полностью возрождается через время /,.,.,. = тт/Е".

Выражение (11) описывает также и дробные возрождения радиального волнового пакета через времена trevi/j, когда член E"t добавляет соответствующие фазы всем составляющим суммы (11). Действительно, в момент времени / = /,.,.,. i/j фаза N2E"t/2 одинакова для состояний N, N ± к, N ± 2к,где к зависит от i/j [19]. В этом случае, сумма (11) распадается на к подсумм, каждая из которых содержит только члены с номерами N + s, N + s±k,.... и воспроизводит начальное локализованное распределение на классической траектории к раз. Согласно формуле (11), если при t = 0 Фд задается

локализованной 2-7г-периодичеекой функцией Gi(0), то, при t = trev i/j,

i fe-i

V7P(i/3 x trev) = г e exP [* (2?r sH/j + s(0 - ukt))] xGk(9- ukt) , (12)

Л s=0

где Gfe — 2тг/к периодическая функция, совпадающая с Gi в области локализации. Из-за интерференции членов с различными s, в зависимости от i/j, распределение (12) может представлять собой от 0 до А; пакетов на классической траектории. Выражение (12) совпадает с известным выражением, описывающим частичные возрождения волновых пакетов [19], и его вывод представляется нагляднее, чем соответствующие рассуждения в r-представлении. Кроме того, рассуждения в представлении углов (4) напрямую переносятся на случай возможного движения пакета по нескольким углам одновременно.

Рассмотрим теперь суперпозицию состояний с одним и тем же главным квантовым числом по, и с гауссовым распределением по m около гщ. Волновая функция такого состояния

фем = ег[пое+-Епог] £ exph(m^2mo)2 + гт(фху - фху0)](13)

т®

локализована вокруг угла фхуо. В волновую функцию такого состояния вносят вклад только эллипсы с углами наклона, близкими к ог//0. Это значит, что Фе2сг(г) локализована вокруг эллипса, соответствующего классическому движению с ■/„ = щ + 1/2, ■/„, = гщ, фху = фхуо. Пример такого состояния с щ = 19, гщ = 15, о = 3, фхуо = О показан на Рис.26. Это состояние можно назвать "эллиптическим".

В литературе локализованные суперпозиции по квантовому числу т обычно называют "угловыми волновыми пакетами" [1, 11] ввиду несколько упрощенного понимания их углового распределения. Из приведенного здесь рассмотрения видно, что так называемые "угловые пакеты" локализованы не столько по полярному углу, сколько по углу фху около одного центрального эллипса. При рассмотрении волновой функции такого состояния обычно легко увидеть эллиптический тип локализации (см., например, "угловой пакет" в [1]).

Состояния с наиболее четкой локализацией вокруг кеплеровского эллипса были описаны как когерентные квантовые состояния, соответствующие скрытой симметрии двумерной кулоновской задачи [12]. Их можно создать, например, с помощью комбинации импульсов перекрещенных электрических или электрического и магнитного полей [20].

В том случае, если Phys. Lett, локализована около нескольких углов фхук, волновая функция Ф(г) локализована около нескольких кеплеровских эллипсов (см. Рис.1 в работе [10]). В том случае, если суперпозиция состояний локализована и по т, и по п, Ф(г) представляет собой один или несколько волновых пакетов, обращающихся вокруг ядра по эллиптическим орбитам. Примеры таких состояний можно найти в работах [1, 2, 10, 12]. Подобный пакет может быть создан, например, из эллиптического состояния с помощью микроволнового поля, резонансного по отношению к ик, или из низколежащего состояния с помощью комбинации короткого оптического импульса и микроволнового или постоянного поля. Рис.2в показывает подобное состояние с п0 = 19, ни, = 15, ап = <7[ = 3, 0q = 7г/3, фхуо = 0. Динамика такого состояния в отсутствие поля совпадает с динамикой радиального пакета. Резонансное микроволновое

поле сильно подавляет расплывание по углу в и добавляет очень медленную прецессию и расплывание по углу фху [10].

Наконец, рассмотрим локализованные состояния следующего вида:

Подобное состояние может быть создано, например, из состояния с квантовыми числами щ,т,а циркулярно поляризованным полем с частотой, близкой к u>k [10, 13]. Подставив (14) в (4), получаем, что ФдР (а значит, и ФСР(г)) имеет гауссову локализацию вокруг кривой в + фху = 0. Эта кривая - устойчивая траектория классического электрона в системе отсчета, вращающейся вместе с полем. На Рис.2г показано состояние с щ = 19, m,Q = 15, о" = 3, найденное численно, и соответствующая классическая траектория.

В том случае, если в разложении (14) состояние (щ, т0) — циркулярное, т.е. т0 = щ, ФСР(г) представляет собой полностью локализованный волновой пакет, вращающийся вокруг ядра по круговой траектории. Динамика таких волновых пакетов не раз рассматривалась в литературе [13, 14].

4. Заключение.

В данной работе был предложен довольно простой подход для описания волновых пакетов в многомерных задачах. Основное внимание в этом подходе уделяется тому, локализация по какому именно углу отвечает комбинации по тому или иному набору квантовых чисел. Для описания квантовых состояний было использовано представление углов (3—5). Было показано, что выражение для волновой функции волнового пакета в этом представлении определяет огибающую, модулирующую центральное состояние в пакете.

В качестве приложения, единым образом были описаны различные ридберговские волновые пакеты, возникающие в двухмерной кулоновской задаче. Такое рассмотрение позволило прояснить форму локализации так называемых "угловых волновых пакетов" , а также некоторых других локализованных состояний. Точные (не квазиклассические) численные расчеты подтверждают качественные предсказания, данные с помощью предлагаемого нами подхода.

Автор благодарит М.В. Федорова за консультации и чтение работы. Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 00-02-17058) и Российско-Американской программой CRDF.

Список литературы.

1) G. Alber and P. Zoller, Phys. Reports, 199, 231 (1991).