Суммарные фазы экспонент, фигурирующих в первой сумме в правой части (6), близки к нулю в области V1, что делает возможным переход в этом члене от суммирования к интегрированию. Аналогичная ситуация имеет место в области V2 в первой сумме в правой части (7). В то же время во вторых суммах в правых частях (6) и (7) суммарные фазы в рассматриваемых областях могут существенно отличаться от нуля. С учетом брэгговского условия (exp(igrn) = 1) преобразуем вторую сумму в правой части (6), учитывая, что вторая сумма в правой части (7) преобразуется аналогично:

I c (f>(z„s) ft? (- g) exp i (к P„s - kf).eXp *\fJ ^ =

n,scV1;PI r r„s\(g)

I c в2) (zns) ftp) (- g) exp( - ik (r - r„s)) exp( i grs). exp lk-r~ r„s\,

n,sc:V1,PI Г r„s I

где учтено, что к = к + g .

Поскольку фаза произведения экспонент exp(-ik (r - rns ) • exp ik\ r - rns близка

к 0 в области V1, ее зависимостью от номера s атома в ячейке можно пренебречь, ввиду чего правую часть (8) можно представить в виде:

I cP2)( z„ )fop (- g )exp( - ik (r - г„ ))

exp ik\r - rn

n cV1;PГ rn

где fop (-g) = I fo(p) (-g) exp(igrs ) - тензор структурной амплитуды рассеяния.

s

Проведя аналогичные преобразования также и в (7), получим: c t1)(z) = c 00 +

I c<1)(z„ )fop (0)exp( - ik (r - г„ ))

exp ik\r - rn

-n U op-

nсV1;pV - rn\

■ +

I cp2) (zn )ftp (-g) exp( -ik (? - )

exp ik r - rn

n с V1; pГ rn

c 02)( z) =

I cP2)( z„ )/op (0)exp( - ik(г - г„ )) ikr -

(9)

+

n cV2,PI r rn

I z„ )/op (^ )exp( - ik(г - г„ ))

exp ik r - rn

n cV2,Pr rn

Достаточно простые оценки показывают, что в областях, дающих основной вклад в суммы в (9), можно перейти от суммирования по ячейкам к интегрированию по объему. В результате возникает система интегральных уравнений:

Р

r (2)- . exp Heir - r 1 3 ,

S JcР2)(z)(-g)exp( -ik(r - r ) ■ P. 1 r 1 d3r

p ^pj r - r I

c (2)( z ) =

(10)

S J c Р2)( z) F(p (0)exp( - ik (r - f)) ■ V - d 3 r

РI Г rn I

S J c Р»( z) (g )exp( - ik (r - f) ■ P 1 r 1 d 3 r

+

-

где F((p (q) = /(р (q)/ v - плотность тензора структурной амплитуды рассеяния, v -

объем примитивной ячейки. Хотя формально интегрирование в (10) ведется по объему кристалла, главные вклады дают области V1 в первом уравнении и V2 - во втором.

Проведя сравнительно простые, но достаточно громоздкие преобразования, можно выполнить в явном виде интегрирование в (10) по переменным x, y, что в пренебрежении малыми поправками дает: c Ч >(z )= c (0 +

^ S F(p (0)J cР1 )(z)dz+ ^ S F(p (- g )J cР2 )(z)dz

z p0*z Р

2 7i i1

(11)

c(2)(z)= ^S F(p(0)Je-iu(z-z)cP2V)dz

W Рz

S F(p(gT)Je-iu(z-z)cP1 )(z)dz

w Р

где w = A/k2r((x:+bx)^-I((Tby)), u = kz + w .

Величина w положительна и, поскольку к ~ к, она близка к kz, с другой

стороны в случае брэгговского отражения kz < 0 , ввиду чего величина u мала.

Одномерные интегральные уравнения (11) легко решаются, так как после дифференцирования по z они становятся дифференциальными:

(1) - -С

d c (1) = 2 77 i

d z kz

V РР

^ = "—F(p (0) cP2) +S F(p (g) cp«

Р

c (1)(z) = c 20 +

S J c£4z)(0)exp( -/к (r - r)) ■ i - f d3r1 +

Граничные условия для этих уравнений следуют из (11) и физически очевидны:

ca1)(0)=cao и ca2)( l)=0.

Полученная система уравнений близка к системе, полученной другим способом в работе С. Такаги [4] и, тем самым, правильно описывает формирование волнового поля РИ в однородном кристалле в режиме динамической дифракции. В то же время развитый подход в отличие от подходов других авторов использует не методы электродинамики сплошных сред, а методы квантовой теории рассеяния, ввиду чего вводимые величины, имеют ясный квантовомеханический смысл. Предлагаемый подход дает также ответ на вопрос о том, почему поверхность кристалла, как правило, может считаться идеальной. В стандартном подходе для ответа на этот вопрос ссылаются на согласие расчета и эксперимента [1]. В рамках развитого подхода ответ на этот вопрос очевиден: падающая волна, попадая в кристалл, медленно меняется с изменением расстояния от поверхности кристалла, причем характерный масштаб перестройки падающей волны из-за малой величины атомной амплитуды рассеяния велик и он намного больше типичных амплитуд шерховатости поверхности кристалла.

Литература

1.З.Г. Пинскер Рентгеновская кристаллооптика, М. Наука, 1982

2.А.В. Колпаков, В.А. Бушуев, Р.Н. Кузьмин Диэлектрическая проницаемость в рентгеновском диапазоне частот. УФН, т. 126, с. 479, 1978

3.В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский Квантовая электродинамика, М.

Наука, 1980

4.Takagi S. Acta Crystall., v. 15, p. 1311, 1962