В общем случае, функции a(r) и b(r) являются комплексными. Представим их в виде: a(r) = a1(r) + i a2(r), b(r) = b1(r) + i b2(r) . Здесь a1(r), a2(r), b1(r) и b2(r) - действительные функции.

Сначала найдем решение уравнения Больцмана, записанное в сферических координатах по всему пространству скоростей, предварительно умножив его первый раз на момент Сф и второй раз на момент СгСф [4]; получим систему из двух уравнений, связывающих моменты функции распределения с электромагнитным полем внутри и вне частицы:

/ю eH oVf r

10(-- /ю)a + 6Vf-b + 2Vf — тrd r

5-

Vf V da 1 .

— a - Vf--(--/ ю)b

d r

0

rd r т

здесь с - скорость света, H0 - амплитуда магнитного поля волны. Для низкочастотного случая (R/Vf «1 и a>RJVf «1) имеем:

/ю eH oVf r

d r

5-

r

Vf V d a — a - Vf

c

r

d r

0

Проведя обезразмеривание, получим:

r = £R, dr = R d£ a = ^(r) e HoR, b = l(r) e HoR,

6 L+2 dL

4 d#

ri(DR „

5-4

c

0

Решения соответствующих дифференциальных уравнений приводят к следующему результату:

k = С14, l = 5 i cdR 4/10 c + С2 / 43

(6)

где С1 и С2 - неизвестные коэффициенты.

Так как k(0)^^ и l(0)#», то С2=0 и l = i со R 4 / 2c.

Теперь рассмотрим граничные условия функций распределения [5]:

Cr ф1=0 при r=R и Cr < 0.(7)

Отметим, что граничное условие (7) не может быть строго удовлетворено рассматриваемой нами моментной функцией распределения. Это связанно с тем, что в данном случае используется полно пространственный, а не полупространственный моментный метод [4]. При этом обычно выбираются моментные граничные условия. Они получаются домножением на моменты граничного условия (7) и

c

J-ReVt<mdVdS = -Re [ESjlLlVppd3I

4 J mVf4 J mVf

1 X(V _ V)• (8) Второй

+ - Re \ K f Vfp1p1d VdS 4mVf

член в (8) в точной кинетической теории равен нулю, поэтому минимизируем его по отношению к падающему потоку. Воспользуемся методом нахождения условного экстремума - нахождения минимального значения функционала. В нашем случае функционалом Ф будет полный поток энергии поступающий к частице, А - поток отраженной, В- поток поглощенной частицей электромагнитной энергии.

Ф=А-уВ, где у- коэффициент. (сделаем замену Cr = Ccos6> Ср = Csin6*cosp, cos0 = Ц, C=V/Vf)

A = J Crpp*S(C _ 1)d 3C =

Cr < 0

4 + a2 + b1 Cr + b2 Cr

= _J Сц(а12 + a22 + b12Cr2 + b22Cr2 + 2a1b1Cr + 2 a2b2Cr) 8(C _1)d3C = _J ц(1 _ ju2 )C 5S(C _ 1%a2 + a22)+ (b12 + b22 )c 2ц2 + (a1b1 + a2b2 )Cju}iCdjU =

<x> 0 0 _1

2

-^((a12 + )(_ 4) + (b12 + )(_ 112) + 2(a1b1 + a2b2 ) 12Г)

=71(a12 + a22) _ 12(b12 + b22) + 2I3(a1b1 + a2b2)) ,

где I1, I2,I3 - значения соответствующих интегралов.

С интегралом B = JCrp1p1 8(C _1)d C проделываем аналогичную операцию.

Cr <0

b = _n(l1(a12 +a22) +i2(b12 +b22) +2I3(a1b1 +a2b2)).

интегрированием по полупространству скоростей, соответствующему условию Cr < 0. Число моментных граничных условий в общем случае зависит от числа используемых моментов. В нашем случае имеется одно моментное условие. Обычно в качестве такового берут моментное условие меньшего порядка. При этом уравнение (7) домножается на момент наименьшего порядка (у нас это Ср) и интегрируется по полупространству скоростей Cr < 0.

В связи с этим будем использовать обобщенный способ подстановки моментных граничных условии: второй член правой части выражения (5) представим в виде двух слагаемых - падающего и отраженного потоков энергии.

Ф= -ж( /1 (а22+а22)(-1-у) + /2 (b12+b22)(-1-Y) + 2 /3 (^^2)0^))= =ж( /1 (a12+a22)(1+Y) + /2 (b12+b22)(1+Y) + 2 / 3 (а^+^Х^М)). Найдем частные производные от функционала Ф по всем переменным и приравняем

их нулю для нахождения экстремума

Фа{=2 /1 ап0+1) + 2 /3 b1(1-y) = 0,

Фа2=2 /1 а2(ун) + 2 /3 b2(1-y) = 0,

ФЬ1=2 /2 b1(Y+1) + 2 /3 сц(1-у) = 0,

ФЬ2=2 /2 b2(Y+1) + 2 /3 «2(1-Y = 0. Получим две системы уравнении:

[2 /А(у +1) + 2 / 3b1(Y-1) = 0[2 /ха2(у +1) + 2 ^(у-1) = 0

2 ^(у -1) + 2 /гЬх (у +1) = 0 [2 /ъа2(у-1) + 2 / 2b2 (у +1) = 0 4 /1/2 ^(уН)2 - 4 /32 «1b1(^1)2= 0, 4 /1/2 «2b2(^1)2 - 4 /32 «2b2(^1)2= 0.

(r±i) -2

у-1

/1 / 2

у1

у2

/ 32 + /1/ 2 + 2 / 3^LJ 2

Зная, что /1 = 1/4, /2 = 1/12 и /3 = 2/15, получим значения

у1

80л/3 -139

11

У2

- 80д/3 -139

11

«1 =-Ь1(У-т ) Т

у +1 /1

а2 =-Ь2(у—1)/l. 2 2 у +1 /1

(9)

у- 1 = л//1/2~ и у- 1

и

VV 2

у +1

/ 3

у +1

/3

(10)

Найдем значение у, при котором выполняется условие А /В<1. (Выразим из (9) b1 и b2, и подставим).

И = - П(/1 (а12 + а22) - 2 /3 (аА + «2Ь2 ) + / 2(b12 + )) =

B

- П (/1 (а12 + а22) + 2 /3 (аА + «2Ь2) + /2 (b12 + b22))

/

(а12 + )-

2 /3

( 2 /1 (у +1

1

V

Vy-l.

+ а2 1 2/

L3 V"1^1

\у 1

/2

JJ

21

2

2 Л_

а1 / 2 /3

у+1 Vr-1.

2

л2

2 /12 у+1

+а

2

2 /32

3

Vy-1

/1 (а12 + а22)+ 2 /3

а

2 /1

V /3

у+1

VУУ-l.

+ а2 А у +1

л

чу 1

JJ

2 /1 ( а1 2

1 / 2

у+1

+а

2 il (

2 /32

у+1

V7-1 _

2

3

2

/

2

/

3