значений энергии 2Ub<E<6Ub, ее амплитуда составляет примерно 0.04; г) для меньших значений эффективной массы асимптотика T(E)—> 1 достигается позднее.

Чем меньше значение эффективной массы, тем большую ошибку по сравнению с точной формулой (7) дает формула Гамова (6) (см. рис.4, где кривые расположены попарно). По мере уменьшения высоты барьера или при уменьшении ширины ямы до 0.1нм ошибка также растет, достигая примерно 100% (т.е. различие- в 2 раза)- кривые 2,6 и 4,7 соответственно. Вместе с тем в сравнительно широкой области обе формулы дают практически совпадающий результат. Величина ошибки чувствительнее к значению энергии электрона (высоте барьера), чем к значению ширины барьера (ср., например, кривые 1,5 и 3,8 на рис.4).

Нами также исследовалось проницаемость системы из нескольких мультиплицированных тестовых барьеров с целью обнаружения резонансного туннелирования (рис.5). Число резонансных пиков равно (N-1), N- число барьеров. Уже в случае двух барьеров кривая 2 туннельной проницаемости теряет монотонность (ср. кривую 1), имея достаточно узкий пик при E=-Ub/2 (его ширина ~0.5эВ). При N=3 (кривая 3) этот пик раздваивается симметричным образом. Мы рассматривали также систему из 10-ти барьеров. При этом в центральной области (по E) наблюдалась достаточно широкая полоса почти сливающихся максимумов и минимумов (в них T=1), которая является при N—»да прототипом разрешенной зоны полупроводника). Меньшая эффективная масса приводит к их расширению резонансных пиков. Сходная картина характерна для кривых T(a) с тем отличием, что влияние отношения размеров ямы (равно a) и барьера (сош£) и носит характер периодического повторения (^1)-горбой кривой. На рис.5 (кривые 4,5) отображен лишь фрагмент такой кривой. При этом минимальное значение туннельного коэффициента совпадает с его значением для одного сплошного барьера (т.е^=0), а период изменения указанного выше аспектного соотношения довольно большой и равен «4.5 (для m =1). Подстановка m =0.16 качественно не влияла на общую картину, однако при этом резонансные пики становились гораздо более плавными и невыраженными по амплитуде, удлинялся также и период повторения (^1)-горбой кривой.

3D : —f + —?--±^±w + — (E + -)у = 0(13)

dr r dr rh2 r

При орбитальном моменте электрона, равном нулю (l=0), и в окрестности нуля

(т. е.энергией электрона можно пренебречь) это уравнение с точностью до члена с

первой производной волновой функции совпадает с одномерным уравнением:

, ^ d2w A... .s

1D : —f = - - у(14)

dr2 r

Чтобы найти асимптотику пси-функции в окрестности нуля, положим y(r)=O(r-Ylim rYw(r) = 1

Y) и наложим даже более строгое условие: r—0. Необходимыми условиями

применения правила Лопиталя к дробям вида f(x)/g(x) являются: а) стремление и

lim f ( x)/ g ( x)

числителя, и знаменателя к нулю (бесконечности); б) существование x—0.

Применим несколько раз правило Лопиталя (15,16):

, ,. rY+1y(r ) .. (y + 1)rYw(r ) + rY+lw (r) 1 = lim-z-^- = lim—--—- =

r—0rr—01

(rY+W(r) rY+2w(r) ,. rY+2w\r)

(y + 1)lim-+ lim-—— => lim-—— = -y

r—0rr—0rr—0r

(15)

rY+2y " (r ) + (y + 2)r Y+1y (r ) .. r y+2(- Ay) . „... r Y+2w -y = lim-Y w v/-^-= lim-^-^ + (y + 2)lim-— =

(16)

ry+1Wr Y+У

- A lim r • lim-— + (y + 2)lim-— => -y = - A • 0 + y(y + 2) => y = 0 , y = -1

r—0 r—0 rr—0 r

4. Подстановка кулоновского потенциала в одномерное уравнение

Шредингера

Для того, чтобы учесть внутренние особенности (на локально-атомном уровне) профиля потенциала, в область которого попадает туннелирующий электрон, самым простым была бы подставить кулоновский потенциал в уравнение Шредингера. Действительно, вблизи ядра можно считать поле пропорциональным U(r)~Z e2/r (Z -эффективный заряд ядра), а на границе между двумя соседними атомами склеить два кулоновских потенциала (с учетом непрерывности самой функции U(r) и ее производной). Такой потенциал имеет сингулярный вид, что влечет за собой, как мы увидим, осложнения в численном методе.

Для сравнения рассмотрим успешно решаемое в курсе квантовой механики уравнение Шредингера для трехмерного водородподобного сферически симметричного атома:

В данной работе мы проанализировали влияние параметра эффективной массы и предположения о малости туннельного коэффициента (по сравнению с единицей) на результаты расчета проницаемости невысокого и узкого прямоугольного барьера. Показано, что вплоть до ширины ямы и высоты барьера в 2эВ погрешность формулы Гамова остается незначительной. Предложено рассматривать туннелирование через ультратонкий подзатворный диэлектрик в МДП-транзисторе как транспортную задачу, поставленную для одномерного уравнения Шредингера, в котором многобарьерный потенциал создается атомными остовами, что позволяет

Таким образом, возможные линейно-независимые решения (34) могут иметь либо нулевой, либо первый порядок стремления к нулю, т.е. ^1~O(r), \/2~O(1).

Полученный результат можно усилить. Сделаем в (14) замену переменных r=t2/(4A), =u(t)/t, что приведет наше уравнение к форме, аналогичной уравнению Бесселя (15):

и"- — + и(1 + 4) _ 0(17)

tt

Его решением служит линейная комбинация функций Бесселя первого порядка соответственно первого и второго рода J1(t) и N1(t) (функция Неймана) с известной асимптотикой (18,19):

u(t) _ t2(BJx(t) + CN^t)), Jx(t) _ O(t), N1(t) _ O(tl)(18)

^=B^1+C^2, ^1~O(r), \/2~O(1)- асимптотика пси-функции (19) Более детальный анализ (18) показывает, что производная пси-функции в окрестности нуля терпит разрыв (из-за присутствующего в аналитическом разлождении в ряд функции Неймана N1(t) слагаемого вида tlnt). Нами наблюдалась расходимость по малому параметру 8 при численном решении задачи Коши (14) методом Рунге-Кутта четвертого порядка для ограниченного на интервале (-8;8) потенциала кулоновского

2

вида (т.е. при re[-5;5] U(r)=U(8)~e78 =const). Любопытно заметить, что, благодаря присутствию члена с первой производной при выписывании лапласиана, трехмерное уравнение Шредингера решается корректно.

Таким образом, подстановка кулоновского потенциала приводит к отсутствию сходимости численного метода решения одномерного уравнения Шредингера, т.е. при шаге h—»0 i/(0)^const Этот факт не зависит от выбора численного метода и принципиально связан с одномерностью задачи.