u (1) = 1, u (1) = 0, u (0) = q, 2 pq

dx

-1

С учетом (33) и (37) получим систему (38):

udu

3j

1 V u3 -1

p

-1/4

V3a

1

p

-1/4

л/3а

(38)

[2pq 3q

Найти пару (p,q) можно из трансцендентного уравнения (39), которое имеет единственное решение:

_(q) = j

udu

1 vu^^r

-e-w-1 = 0, в =

2а2 9

2 Л

1/3

(39)

Покажем, что уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решения. Физический смысл последнего состоит в том, что профиль потенциала имеет сложную форму, с локальными экстремумами. Математически это следует из двузначности перехода (30)-(32) за счет извлечения квадратного корня; при этом задача (29) ставится для по крайней мере двух меньших отрезков, соединенных точкой сшивки 0<^ <1: )=0. Очевидно, что f(1)=0, и для существования корня (39) необходима знакопеременность df/dq:

df

q

dq

1 -в

2

q

q -1

lim, f (q) = O

d

\j q3 -1 j dq

dq

q

^(q3 -1) 4/3

2

> 0

q ->1+0

(q-1)2

/3

=lim f(q) = 1 -^> 0

(40)

(41)

J

Из (41,42) следует, что на (1;+оо) f/(q) меняет знак один раз, если р<2, что соответствует а<6. Отметим, что большие значения а достигаются при малых Z и больших a, т.е. для легких атомов с большим атомным радиусом- а это выводит нас за границу применимости модели Томаса-Ферми. Имеются два предельных случая, когда уравнение (39) поддается приближенному аналитическому решению. Если q

2

мало, т.е. q=1+e, 8<<0, и тогда 8~а /4. Если q>>1, тогда имеем

q

. При

(1 -а2/3б)2

выводе этого выражения мы существенно использовали то, что нижний предел интегрирования равен 1. Численное решение (39) показывает справедливость первой оценки. Найдем приближенные значения p и x(0)=pq2:

x=0

1

9

р=\ 4а)

X(0) = -Ч -^—^(42)

Для «кремния»(2=14, a=2A) a~0.83<<6, B-317B, q~1.173. Глубина потенциальной ямы, может быть оценена как 300эВ, точность ее определения существенно зависит от вычисленного q. Таким образом, вполне оправдано применение одномерного уравнения Томаса-Ферми с точки зрения численных методов, когда профиль потенциала не содержит в себе сингулярности.

4. Некоторые замечания к использованию адаптированного 3D и 1D уравнения Томаса-Ферми при расчете туннельных коэффициентов

Рассмотрим вопрос о правомерности применения обеих описанных выше моделей при моделировании туннельного тока через ультратонкий подзатворный диэлектрик. Возникают следующие проблемы: 1) проверки адекватности внутриатомного потенциала, полученного двумя способами, и выбора наиболее подходящей модели; 2) корректности экстраполяции результатов для каждого из атомов, пусть и пространственно ограниченных, на молекулярную гетерогенную структуру реального диэлектрика; 3) физического смысла расчета одномерного атома, который в действительности трехмерен.

Заметим вначале, что переход от трехмерной задачи расчета внутриатомного потенциала, каким бы способом он не проводился, к одномерной задаче, поставленной для уравнения Шредингера, вынужденно обусловлен прежде всего выделенным направлением туннелирования. Ошибочно взять в 3Б-потенциале U(r,91,92), заданном, например, в сферических координатах, его сужение по какому-то направлению (91=const, 92=const), рассматривать его как U(r=x): мы получим тогда несоответствие при действии оператора Лапласа (Ar^Ax). Радикальным способом избежать этого являлся бы учет, например, в (1, часть 1), криволинейных путей туннелирования через расчет вероятностей попадания электрона из точки(х,у^) в приповерхностном слое кремния в точку (x,y,z) внутри затвора с последующим интегрированием и/или применением методов Монте-Карло. Но, во всяком случае на нынешнем этапе развития наноэлектроники, свойства диэлектрика в плоскости, перпендикулярной направлению туннелирования, можно считать достаточно однородными. Поэтому решение 3D туннельной задачи было бы расточительным с

точки зрения вычислительных ресурсов и математически чрезмерно усложненным и неясным при формулировке граничных условий, налагаемых на волновую функцию электрона. К сожалению, одномерность задачи весьма затрудняет решение вопросов, сформулированных выше.

Для проверки адекватности формы внутриатомного потенциала, если бы он был задан трехмерно, для кристаллического материала можно было бы сослаться на аналог модели Кронига-Пенни. Иными словами, при большом N туннельный коэффициент для системы из N повторяющихся последовательно потенциалов Томаса-Ферми становился бы пренебрежимо мал в запрещенной зоне и приближался бы к единице в разрешенной зоне энергии (что обусловлено резонансом). Сравнивая энергетические характеристики зон с известными данными (например, по работе выхода электрона или ширине запрещенной зоны данного материала), можно было бы судить об адекватности модельной формы потенциала. Однако зонная диаграмма дается только для трехмерного кристалла, а не одномерного.

В строгом смысле необходимо было бы использовать модель Томаса-Ферми для атомного кластера, а не атома- безусловно, это гораздо физичнее. Но при заметном усложнении математического аппарата (вычисление 3D функционала Томаса-Ферми и поиск точек экстремума) мы бы вряд ли получили выигрыш в точности, поскольку затем мы все равно совершаем переход к одномерной задаче.

При решении туннельной задачи в 1D уравнение Шредингера мы вправе подставлять любую форму потенциала, лишь бы она была физически обоснована. Мы можем моделировать потенциал наряду с адаптированным 3D TF-потенциалом, в частности, и непосредственно 1D TF-потенциалом. Это позволило бы также исключить интегрирование по энергии (dEx, см.(1) в ч.1) при вычислении туннельного тока. Хотя само по себе исследование 1D атома и представляет теоретический интерес, но решение 1D TF-уравнения рассматривается нами как способ получения потенциала для 1D уравнения Шредингера.

Сорт атома моделируется только двумя параметрами (помимо фундаментальных констант)- зарядом ядра Z и его диаметром a. Последний параметр можно считать равным длине связи между атомами; кроме того, его вариация указывает нам путь для учета влияния механических напряжений на электронные свойства атома в составе диэлектрика. При обезразмеривании пара (Z,a) переходит в параметр Р(или K) для адаптированного 3D TF-уравнения или а для 1D TF-