Хольцмарковская статистика диполей и формулы Лоренца и Ланжевена

Романов A.C.(romanov@dap.kiae.ru), Чукбар К.В.

Российский научный центр "Курчатовский институт"

Введение

В классической теории поляризации диэлектриков хорошо известна формула Лоренца для так называемого "действующего" электрического поля (см., напр., [1, 2])

E = E + 4п P,(1)

где E представляет собой поле внешних (по отношению к среде) источников, а P — дипольный момент единицы объема. Считается, что именно это поле поляризует отдельные микроскопические (атомные или молекулярные) диполи, так что P = nd = aE (n — концентрация, а d — величина дипольного момента отдельных частиц), где a — поляризуемость среды. Иными словами предполагается, что среднее значение электрического поля в данной точке (месте нахождения атома) за вычетом его собственного поля равно (1).

Однако, при внимательном изучении стандартных выводов этого соотношения нетрудно заметить их некорректность, поскольку в процессе выделения из среднего по объему электрического поля вклада данного элементарного диполя среда рассматривается непрерывным образом, в то время как отдельные атомы, несомненно, дискретны. Восполнить пробел можно, основываясь на также классическом хольцмарковском подходе к статистике потенциальных полей [3, 4] (вполне пригодном, впрочем, и для вихревых случаев, см. [5]), изначально применяющемся к вычислению распределения (и среднего значения) электрического поля в пространстве, создаваемого хаотичным ансамблем монопольных зарядов. Ответ при этом оказывается отличным от формулы (1), что и составляет основное содержание первого параграфа нашей работы.

Еще одной областью приложения "хольцмарковского" подхода к элементарным диполям может служить возможная альтернатива ланжевеновской теории парамагнетизма (см. те же [1, 2]), в которой средняя намагниченность под действием внешнего поля H возникает вследствие больцмановской населенности состояний микроскопических спиновых моментов величины ц , ориентированными по и против H:

M = ехр(цН/Т) - ещ)(-цН/Т) H

W exp(»H/T) + exp(-»H/T) H()

Дело в том, что температура не является "внутренней" характеристикой спиновой системы и возникает исключительно вследствие ее взаимодействия с внешним "резервуаром" или "термостатом" (электроны проводимости, фононы и пр.) Это взаимодействие, однако, весьма слабо, термодинамическое равновесие в системе устанавливается достаточно медленно, так что на протяжении длительного времени деполяризующим фактором может быть не больцмановская экспонента, а воздействие магнитного поля соседей.

Изучению этого обстоятельства посвящен второй параграф нашей статьи. В отличие от стандартного "изинговского" подхода (см. [6]) нас будет интересовать не только среднее значение поля, но и его распределение, а элементарные диполи будут расположены не на регулярной решетке.

1.Статистика трехмерного дипольного поля

Итак, предполагается, что мы имеем дело со случайно разбросанными в пространстве по равномерному закону (см. ниже) элементарными диполями заданной величины. Конечно, в действительности d микроскопических частиц не является константой, поскольку поляризуемость данного атома (молекулы) зависит от конкретной величины электрического поля в месте его расположения, разного для разных частиц среды (см. ниже), однако для выявления неточностей (1) мы будем исходить из этой упрощенной модели, полностью соответствующей предположениям, заложенным в ее стандартном выводе. По физике дела она ближе к так называемым "полярным" диэлектрикам, для которых формула Лоренца, как известно, на практике не вполне адекватна, возможно, именно вследствие рассматриваемого эффекта.

Направим ось z вдоль вектора P или d (задаваемого внешним электрическим полем E) и рассмотрим статистику z -компоненты Ez = e суммарного по диполям поля в объеме V в данной точке пространства (например, месте расположения одного из диполей), выбираемой в качестве начала координат (ср. [3, 4], статистика x -и y-компонент исследуется аналогично, однако уже из симметрии задачи очевидно, что их среднее значение равно 0):

1 и = { i • j К-3 Л)) =

1 [ , J ( N \ d d(ez • г,)2l\\ ,

= 2П J exp(we) yexp у-ш 2=, [r? - 3 —~5—J) j(3)

Здесь i(e) — искомая функция распределения по этой составляющей, угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю, 8 — дельта-функция Дирака, г, — координатный вектор j -того диполя, а N — их полное количество.

Согласно стандартной процедуре усреднение в (3) следует проводить по распределению взаимно нескоррелированных диполей FJN=l(d3rj/V) , переходя к пределу N —> ос ,

V — о , N/V = n = const (d/rj - 3d(ez • rj)2/rj = F(rj)):

(...) = / exp(-iu £ F (Vj ) П ^ =

= U exp[-iuF(v)] Щ = (l - j 1 - expHu,F(v)]}j -(4)

- exp (-nj{{ - exp[-iuF(V)]} ^ .

Интегрируя по d3v и подставляя результат в (3) получаем

ОО

Г ( Annd \ exp I iue--з— шФ j

О

f (e) = — Re / exp ( iue--шФ\ du,(5)

п I \3

где комплексная константа Ф равна

oo12

Ф = J dx J dy l - exp ^-i-—^(6)

00

(интегрирование по объему в (4) удобно вести в сферической системе координат, и x в (6) соответствует r , а y — cos 9). Вычисление этой константы представляет собой довольно громоздкую, но необходимую процедуру, проводимую с помощью приемов "обратных" используемым в преобразованиях (3), (4).

А именно, сначала бесконечный интеграл по x следует представить в виде предела интеграла от 0 до l/k при k — 0 ( z = kx)

(1 12

— [ dz [ dy l - exp (-i-— k

i i

— - 3y2

fc^o i k

00

а затем воспользоваться "парностью" дельта-функции и экспоненты в преобразованиях Фурье

Ф = lim < —— l - [ exp(ikr)S(т) dr 1 , к^0 [ 2nk I JJ J

где

S(r) = fj S (r - Idyd,= 2 - 9(r + 2)e3^3^(2 + Т^

00

(e — тэта-функция Хевисайда). При обращении фурье-преобразования в пределе k — 0 удобно представить S в виде

2e(l6 - 27т2)

S(r) = G(r) + [S(r) - G(r)], G(r) = ^7^3Гт

2