Математическая модель деформации зоны контакта сопряженных осесимметричных тел

Владимиров С.Н. (1), Земан С.К. (2), Крохмаль Е.В. (greenke@yandex.ru) (3)

(1) Томский Государственный Университет (ТГУ), (2) Федеральное государственное научно учреждение «Научно-исследовательский институт автоматики и электромеханики» (ФГНУ «НИИ ФЭМ») г. Томск (3) Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

(ТУСУР)

Индукционный нагрев токами высокой частоты является наиболее современным и высокотехнологичным средством проведения операций по сборке-разборке узлов и механизмов, сопрягаемых посредством горячей посадки. Высокий коэффициент полезного действия, невысокие массогабаритные параметры, малое число витков высокочастотной индукторной системы, возможность придания ей любой конфигурации, возможность получения секционированных легкоразъемных конструкций позволяет получить требуемое распределение температурного поля в труднодоступных местах, обеспечивая тем самым высокоэффективную реализацию данной технологии. В связи с практически полным отсутствием ее теоретических основ, весьма актуальной является задача построения математических моделей типичных процессов и явлений, сопровождающих перемещение границ материальных объектов при произвольных профилях мощностей компонентов индукторной системы. Именно эта проблема анализируется в настоящей работе.

1. Постановка задачи

Рассмотрим типичный для практики случай, когда две осесимметричные детали, объединенные горячей посадкой, должны быть разъединены с использованием высокочастотного индукционного нагрева (рис.1).

Рис.1 Осесимметричные детали, объединенные способом термической посадки: 1,2,3 - типичные

положения элементарных колец.

Индуктор, местоположение которого может быть произвольным, создает в нагреваемых объектах неравномерное температурное поле, которое может быть определено при известном профиле мощности источника электромагнитного излучения из решения уравнения теплопроводности с соответствующими граничными условиями [1].

Под воздействием тепла, выделяющегося за счет протекания индукционных токов, в нагреваемых объектах развиваются температурные напряжения, приводящие к деформации деталей. В силу неоднородности теплового поля (или тепловых полей, если используется более чем один индуктор) и сложной форме деталей поставленная задача не может быть решена аналитически. В этом случае удобно получать решения, разбивая нагреваемые объекты на элементарные участки - тонкие кольца, внутренний диаметр которых может быть и равен нулю. Толщина этих колец должна быть такова, чтобы имелась возможность для пренебрежения неравномерностью температурного поля в продольном направлении. При таком подходе необходимо учитывать неравномерность теплового поля только в радиальном и азимутальном направлениях.

На рис.1 представлены три типичных положения таких элементарных колец. Первое из них соответствует случаю, когда внутренняя деталь предоставлена сама себе и не подвергается механическому воздействию со стороны внешней детали. Второе возможное состояние возникает, когда элементарное кольцо подвержено механическому воздействию внешнего объекта. И, наконец, третье состояние реализуется для внешней детали, подверженной давлению со стороны детали внутренней.

Таким образом, возникает задача определения деформаций элементарного кольца, находящегося в неравномерном температурном поле и подверженного внешним воздействиям (давлениям). Известны решения некоторых частных случаев поставленной задачи. Так, в [2] приводятся формулы Ляме, полученные при условии отсутствия температурного поля, но в присутствии внутренних и внешних давлений. В [3], напротив, решена задача нахождения упругих деформаций при произвольном распределении температурного поля, но в отсутствие поверхностных давлений. Необходимо отметить, что аналитические решения, приведенные в [3], выражены в интегральной форме и требуют привлечения вычислительной техники при сколько-нибудь сложной конфигурации теплового поля.

Далее рассмотрен общий случай, когда одновременно учитываются и неравномерное распределение температурного поля и внешнее по отношению к элементарному кольцу давление.

2. Вывод уравнения перемещения материальных точек элементарного

кольца

Внутри рассматриваемого элементарного кольца выделим бесконечно тонкое кольцо размером dr. Тогда любая материальная точка будет представляться его небольшим участком. Пусть r - расстояние от оси элементарного кольца до исследуемой материальной точки, а СУГ и Од - соответственно радиальное и тангенциальное напряжения, которым

подвержен выделенный участок. Исходя из условия равновесия сил, можно записать уравнение [2,3], связывающее между собой введенные в рассмотрение величины:

dr

При решении поставленной в рамках настоящей работы задачи достаточно провести анализ плосконапряженного состояния, при этом обобщенный закон Гука может быть записан в следующей форме:

1

r E

E

(<cr - uoe)+a©(r), (<ce - u.<cr )+a©(r).

(2)

Здесь sr

dU

относительное удлинение кольца размером dr, Se

U

drr

относительное его удлинение в тангенциальном (окружном) направлении, E, Ц - модуль

Юнга и коэффициент Пуассона соответственно, 0(r ) - температура в точке с радиусом r ,

a - коэффициент теплового расширения. Модуль Юнга еще называют модулем упругости первого рода, измеряется в Паскалях, для сталей эта величина имеет значение в диапазоне (190 ч- 200) ГПа. Коэффициент Пуассона - безразмерный коэффициент пропорциональности. Для всех металлов числовые значения Ц лежат в пределах (0,25 ч0,35).

Выразим из (1) <cr и <Ce

С r

1

U

—(dU + Ц—-(1 + u)oc0(r) 1 - Ц2 L dr r_

1

1 -ц2

ц + U - (1 + ^)a©(r)

dr r

(3)

и подставим полученные соотношения в (2). Теперь после элементарных упрощений запишем уравнение для радиального перемещения поверхности радиуса r :

"TT + ^---2 =a(1 + ЦНг^

dr r dr rdr

которое может быть представлено в форме

d Г1 d^^l = a(1 + ^)d©W dr r drdr

dr L r dr

что после двукратного интегрирования приводится к виду

U (r )= + B + a(1+^fr0(r )dr,

(4)

1