Как обустроить мансарду?



Как создать искусственный водоем?



Как наладить теплоизоляцию?



Как сделать стяжку пола?



Как выбрать теплый пол?



Зачем нужны фасадные системы?



Что может получиться из балкона?


Главная страница » Энциклопедия строителя

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

страница - 1

в котором приняты следующие обозначения: A и B - подлежащие определению постоянные интегрирования, r1 - внутренний радиус элементарного кольца, который в частном случае может и равняться нулю.

3. Формулировка граничных условий

В уравнение (4) входят две постоянные интегрирования, которые должны быть определены в каждом частном случае, исходя из физического смысла задачи. В нашем случае наиболее приемлемой формой конкретизации постоянных A и B представляется использование граничных условий.

Полагая, что элементарное кольцо в общем случае подвержено внутреннему P1 и внешнему P2 давлениям, сформулируем граничные условия следующим образом:

ar (r1 )=- Pb

(5)

Здесь r1, r2 - внутренний и внешний радиусы элементарного кольца. Знаки минус в правых частях (5) выбраны потому, что в обобщенном законе Гука (2) за положительные были выбраны растягивающие напряжения.

Для удобства дальнейшего использования граничных условий (5) преобразуем первое из уравнений (3). Продифференцировав уравнение (4), получим:

-—= A- — + а(1 + Li)©(r)--dr rr

J r©(r )dr.

Подставим последнее соотношение в (3). Тогда a r определится следующим образом:

E \ A

B

1 - и (1 + u)r2 r

(6)

В частном случае отсутствия теплового поля ©(r) = 0 выражение для ar примет

вид

ar = E

A

B

1 -и (1 + ц>3

r1

r1

который, очевидно, с точностью до обозначений совпадает с (15.7) из [3]:


E

1 -ц2

(1 + №1

1 - ц

7^

Таким образом, соотношения (5) и (6) позволяют полностью сформулировать граничную задачу для любого из ранее определенных положений элементарного кольца.

4. Определение постоянных интегрирования для всех возможных положений элементарных колец

Итак, необходимо определить постоянные интегрирования A и B для трех определенных в разделе 1.4 положений элементарного кольца. Здесь и далее будут использоваться следующие обозначения: цц, Ц2 - коэффициенты Пуассона первой и второй детали, объединенных термической посадкой, а E1, E2 - модули Юнга этих деталей. Первой

деталью будем считать внутреннюю, то есть ту, на которую осуществлялась горячая посадка второй, внешней детали (рис.1).

4.1 Первое возможное положение

Как следует из рис.1, первое возможное положение соответствует случаю, когда элементарное кольцо имеет внутренний радиус, равный нулю, а внешнее и внутреннее давления отсутствуют. Тогда из (5) и (6) следует, что

Г A

lim

B

1 -ц1 r1 ->о (1+ )Г12

A

B

а1

1-Ц1 (1+ Ц1 )R2 " Я2

J r&(r *)dr.

Здесь R1 - внешний радиус элементарного кольца. Разрешая приведенную систему уравнений относительно неизвестных A и B , получим:

а1(1 -ц1 )Rf

A

J r&(r )dr,

(7)

B = 0.

Теперь уравнение (4) для определения перемещения поверхности радиуса r примет

вид:

а1(1 -ц1 )Rf

U (r)

= r

J r@(r r)dr

а

1(1 + ц0

J r@(r r)dr.

(8)

0

0

r

0

0


2a1

U(R1 )= R J r©(r )dr.

(9)

1 0

В частном случае постоянства температурного поля ©(r) = const = ?0 из (9)

следует,

U (R )=a,?0 R

(10)

что, безусловно, верно.

4.2 Второе возможное положение

Из анализа рис.1 следует, что в данном случае r1 — 0, а граничные условия (10) примут вид

ar (r1 )= 0 ar (R1 )=- Pk,

где Pk - давление в зоне контакта двух деталей. Выражение для вычисления Pk будет

получено ниже. Теперь для определения постоянных интегрирования A и B получим систему уравнений

Г A

lim

B

1 -u1 r1—0 (1+ U1 )r12

A

B

a1

R1

(11)

J r©(r )dr

Pk E1

0

разрешив которую, получаем искомые значения:

A = (1 -uj B = 0.

R1

a

2 J r©(r)dr

1 0

4 E1

(12)

С учетом полученных значений постоянных интегрирования уравнение (4) для перемещений может быть записано в следующей форме:

U (r )= r (1-U1)

a R

R1

J r©(r )dr

1 0

E1

+

a

1(1 + m)

J r©(r )dr.

(13)

r

0

В дальнейшем нас будет интересовать перемещение только внешней поверхности кольца. Поэтому положим в (8) r = R и для анализируемого положения окончательно получим:




содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]

© ЗАО "ЛэндМэн"