1. ПЛОСКОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ

Ш

Плоским температурным полем называется такое поле, в котором температура изменяется только в направлении осей х и г/, а в направлении оси z остается постоянной. В ограждающих конструкциях зданий плоское температурное поле характерно при наличии в них элементов каркаса, прокладных рядов, перемычек и пр., когда их протяженность значительно превышает толщину ограждения. В этом случае, принимая длину элементов каркаса бесконечно большой, будем иметь плоское температурное поле, в котором распределение температуры во всех плоскостях, параллельных плоскости поперечного сечения рассматриваемого элемента, будет одинаково.

г 2

Рис. 21. Схема наложения квадратной сетки при расчете температурного поля колонны двутаврового сечения

-t

2

I—г-

1Тх

I___

]-----ь______

Рис. 22. Схема для расчета плоского Рис. 20. Схема для расчета плоского температурного поля при наложении температурного поля при наложении прямоугольной неравномерной сетки квадратной сетки

Дифференциальное уравнение плоского температурного поля приведено в главе I [уравнение (4)]. Интегрирование этого уравнения в общем виде представляет весьма сложную задачу, которая еще более усложняется наличием в пределах поля материалов с различными коэффициентами теплопроводности. Задача значительно упрощается при решении уравнения (4) в конечных разностях. При этом дифференциальное уравнение заменяется системой обыкновенных линейных уравнений, неизвестными в которых будут значения искомой функции в точках

ПОЛЯ, лежащих в узлах сетки, составленной из квадратиков со стороной принятого размера А.

В конечных разностях уравнение (4) имеет вид:

где Ххх и Туу —вторые конечные разности функции т соответственно по л: и по у.

Выписывая их подробно, получим (рис. 20):

откуда, решая полученное уравнение относительно Хх,у, будем иметь:

х,у ~I*y ^ ^f

Т. е. в однородном поле температура в каждом узле сетки должна равняться средней арифметической температур четырех соседних узлов.

Если поле неоднородно, т. е. в нем имеются материалы с различными коэффициентами теплопроводности, поступаем следующим образом. Накладываем на исследуемую конструкцию квадратную сетку с расстояниями между ее узлами А таким образом, чтобы узлы сетки располагались по возможности в тех точках, в которых требуется определять температуру. Кроме того, направление одних нитей сетки должно быть параллельным, а других — перпендикулярным основному направлению теплового потока. На рис. 21 приведен пример наложения сетки на стальную колонну двутаврового сечения. Вертикальные нити сетки направлены параллельно оси колонны; одна из горизонтальных нитей совпадает с наружной поверхностью полки двутавра.

Рассмотрим узел с температурой Тх,г/. Квадрат, в центре которого находится этот узел, получает (или отдает) тепло в направлении к точкам, расположенным в четырех соседних узлах сетки, имеющих температуры т _д ^, ^ ^ д, т +д, и т , _д. Количество тепла, которым обменивается с окружающим материалам квадрат, вырезанный вокруг точки х, у, будет зависеть не только от температуры соседних узлов, но и от величины коэффициентов теплопередачи в направлении нитей сетки между точкой л:, у и этими точками. Обозначив коэффициенты теплопередачи буквами k с соответствующими индексами, получим:

количество тепла, передаваемого в направлении от узла л:, у к узлу с температурой ^ „д ^;

Ql-[x,y-\ ^.y)K- ^

количество тепла, передаваемого в направлении от узла х, у к узлу с температурой tд, ^+д;

количество тепла, передаваемого в направлении от узла х, у к узлу с температурой т ^д ^;

Q3 = { х у — \+А.г/) х+а

количество тепла, передаваемого в направлении от узла х, у к узлу с температурой x y_j ;

Из условия теплового баланса сумма этих количеств тепла должна быть равна нулю, т. е.

Решая это уравнение относительно Хх,у, получим окончательно

X = ^-А х—а,у + г/+А х,у+а + х+а х+а,у + у~а х,у—а /334 .-А + ,+А + .+А +Va

Это и есть общая формула для вычисления температуры во всех узлах сетки.

В частном случае, если все четыре квадрата, примыкающие к узлу с температурой Хх,у, лежат в пределах одного материала (однородное температурное поле), то k __ = у+а = jc+a ^у-а и в этом случае формула (33) обращается в формулу (32).

Коэффициенты теплопередачи между узлами сетки определяются следующим образом (см. рис. 21). Принимаем, что от узла с температурой х у к узлу с температурой т ^ _,д передача тепла происходит только по квадрату abdc. Тогда коэффициент теплопередачи kyj ^ определится как величина, обратная сопротивлению теплопередаче квадрата abdc. Сопротивление теплопередаче этого квадрата определяется как ограждение, в котором однородность материала нарушена в перпендикулярном и параллельном тепловому потоку направлениях.

Передача тепла от узла с температурой Хх,у к узлу с температурой x j ^ y происходит по квадрату hknm,\ к узлу с температурой т ^_д ^ — по квадрату ghml. Сопротивление теплопередаче этих квадратов определяется, как для двухслойной стены.

В направлении к узлу с температурой т ^_д передача тепла происходит по квадрату cdfe, сопротивление теплопередаче которого определяется, как для стены, состоящей из двух материалов, каждый из которых имеет толщину, равную толщине стены.

Для квадратов, в которые входит только один материал, k=