Граничные условия на поверхностях, граничащих с воздухом или разделяющих различные материалы, определяются аналогично изложенному для одномерной задачи.

В общем случае при трехмерной задаче, описываемой дифференциальным уравнением (2), пространство разбивается кубической решеткой и температуры определяются в узлах этой решет-

Д2

ки. в этом случае А2макс= — и при Д2 = Д7макс температуры

в соответствующих узлах решетки определяются как среднее арифметическое из температур в шести соседних узлах в предыдущий момент времени.

Пример 21. Внецентрепно сжатая железобетонная колонна сечением 30X30 см, армированная восемью стержнями (рис. 34), подвергается воздействию пожара. Определить, через сколько времени средняя температура арматуры достигнет 500° С, при которой колонна потеряет несущую способность?

Для расчета изменения температуры в поперечном сечении колонны накладываем на нее квадратную сетку с расстояниями между узлами А=0,05 м (левая нижняя четвергь колонны на рис. 34). Узлы сетки, имеющие одинаковые температуры, пронумерованы одинаковыми номерами. Узлы 5 и 7 соответствуют стержням арматуры.

Для бетона колонны принимаем: объемный вес y = 2200 кг/м ; коэффициент теплопроводности Х = = 1,1 ккал!м-ч.град\ удельную теплоемкость с=0,2 ккал!кг-град. Коэффициент температуропроводности бетона будет:

50мм

Рис. 34. Схема для расчета прогрева железобетонной колонны при пожаре

1,1

0,2-2200

= 2,5-10- м /ч.

Величину коэффициента теплоотдачи у поверхности колонны получим следующим образом: примем коэффициент .теплоотдачи конвекцией ак = =8,5 ккал!м -ч-град, коэффициент излучения углекислоты продуктов горения aQ02=ll ккал!м -ч-град, коэффициент излучения водяного пара ан о = =4,5 ккал!м -ч-град. Полный коэффициент теплоотдачи будет: 8,5-bll-f-4,5== = 24 ккал]м -ч-град *.

При выбранном размере А=0,05 м максимальный интервал времени А2макс по формуле (44) будет:

0,052

Аймаке10 -0,25 ,

или 15 мин., что и принято в расчете.

* Величины а Ог НгО подсчитаны для средних температур: пожара 900° С и поверхности колонны 600° С и содержании в продуктах горения СОг 5% и Н2О 2% (метод расчета излучения газов заимствован из книги [13], стр. 521--528).

Для узлов сетки получим следующие расчетные формулы.

Узел 1. Так как выбранный интервал времени AZ соответствует максимальному, для определения температуры узла воспользуемся формулой (33) и указанием о ее применении в случае, если узел лежит в плоскости, граничащей с воздушной средой.

Коэффициент теплопередачи к узлу 2

1_2 -.11,

0,05

откуда по формуле (33) получим:

_ 11.2x2 +24 в

1 ,2+1 =

46

где tb — температура пожара.

Узел 2. Аналогично узлу 1 получим:

= 0,52 в +0,48X2,

24 B+ll(Ti + t8 + 2x5

1,1

2-5 0,05

= 22; а = 24,

= 0,352 в + 0,162 (Xi + хз + 2x5).

откуда

Для остальных узлов сетки будем иметь следующие расчетные формулы: = 0.352 , + 0,162 (т + т, + 2т ); Т4,г+1 = 0,352<в + 0,324 (Т3 + т,);

Чг+1=0,5(т, + т ); 4 +i = 0.25(t3 + T +T, + T3); 7.г+1=0.25(т + 2т + Тз);

T9,,+i=0,25(T,+ 2tg + T ,);

Температуры в правой части формул соответствуют температурам узлов в предыдущий момент времени.

Весь расчет располагаем в расчетной таблице. В графе 2 таблицы дано изменение во времени температуры пожара согласно Противопожарным нормам.

Приведенный расчет показывает, что через 2 ч 15 мин от начала пожара

569+421

средняя температура арматуры будет:--- =495 С, т. е. огнестойкость

колонны составляет только 2 ч 15 мин. В момент потери колонной прочности температура на ее ребре будет 870° С, а в центре колоннытолько 216° С.

Испытания огнестойкости строительных конструкций, проведенные в Центральном научно-исследовательском институте противопожарной обороны (ЦНИИПО) при температурном режиме, принятом в примере 21, дали результаты, близкие к расчетным. Так, например, для бетонной колонны с жесткой арматурой сечением 260X360 мм (площадь поперечного сечения 936 см , т. е. близкая к сечению колонны в примере 21) получилась огнестойкость, равная 4 ч20 мин. Те же испытания показали, что железобетон с гибкой арматурой при одинаковых размерах поперечных сечений имеет огнестойкость, в 1,5—2 раза меньшую. Таким образом, испытанная колонна имела бы огнестойкость, равную 4 ч 20 мин: 2=2 ч 10 мин, т. е. почти равную огнестойкости колонны сечением 30X30 см с гибкой арматурой.

При расчетах двухмерных температурных полей в нестационарных условиях можно пользоваться также и неравномерной прямоугольной сеткой. При этом для определения температуры Xx,z+i В каждом узле сетки по температурам в четырех соседних узлах в момент времени Z (см. рис. 22) вычисляем коэффициенты теплопередачи от этого узла к соседним узлам с учетом площади теплопередачи так же, как это делается при расчете температурного поля при стационарных условиях теплопередачи.

Количество тепла, приходящего за время AZ к узлу с температурой Тх, будет:

в нестационарных условиях теплопередачи сумма этих количеств тепла 2Q в общем случае не будет равна нулю, как для стационарных условий теплопередачи. Величина 2Q должна быть равна изменению теплосодержания прямоугольной призмы высотой 1 м и площадью F поперечного сечения прямоугольника» стороны которого проходят через середины расстояний между узлом Тх и соседними узлами (пунктирный прямоугольник на рис. 22). Изменение теплосодержания этой призмы в связи с изменением ее температуры за время AZ от Гх до Тх, z+i будет:

AQ = vfс (t ^ i — т ккал,