УДК534.546.3

МОДЫ КОЛЕБАНИЙ ИЗОТРОПНОГО ДИСКА, СЛАБО ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЕГО ТОЛЩИНЫ

Гайдуков Ю.П. (gaidukov@lt.phys.msu.su), Данилова Н.П., Сапожников О.А.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Elastic vibrations of nickel disks were exited by magnetostriction. Frequencies of the vibration modes observed does not depend on sample thickness. The vibration modes have been considered theoretically. Relations linking resonant frequencies and elastic moduli of material have been obtained

ВВЕДЕНИЕ

Исследование упругих модулей твердых тел проводится обычно либо эхо-импульсным методом по скорости прохождения по образцу высокочастотного импульса, либо резонансным методом, в котором тем или иным способом возбуждаются определенные акустические моды собственных колебаний образца. Одним из преимуществ резонансного метода является его высокая абсолютная и относительная точность определения скорости звука, что позволяет проводить тонкие физические исследования разнообразных явлений в металлах [1,2]. Успешное использование резонансного метода возможно лишь при умении как теоретически рассчитывать конкретные типы колебаний, так и возможности идентифицировать их по экспериментально измеренным резонансным частотам. Эта задача для образцов произвольной формы является очень сложной. Поэтому чаще всего используются либо тонкие стержни, либо тонкие пластинки. В случае пластинок обычно исследуются толщинные резонансы, ввиду их простой связи со скоростью звука. Точность определения скорости звука по толщинным резонансам ограничивается многомодовостью этих резонансов, возникающей вследствие конечности поперечных размеров пластин [3]. Расшифровка типов колебаний упрощается на низких частотах, в частности при резонансах изгибных колебаний. Однако сильная дисперсия изгибных волн и существенная зависимость их свойств от толщины пластинки ограничивают точность резонансного метода в этом случае. Более удобными могут оказаться другие типы низкочастотных колебаний пластинок.

К этому типу относятся радиальные колебания тонкого диска, которые в случае пьезоэлектрических дисков нашли широкое применение [4]. Наряду с радиальными модами колебаний, тонкий диск обладает многими другими (неосесимметричными) низкочастотными модами, частоты которых не зависят от его толщины. На их существование указывал еще Ляв, подвергая, однако, сомнению их важность [5]. Более подробный теоретический анализ этих колебаний был проведен позже в работе [6]. Некоторые из указанных мод наблюдались в эксперименте [7]. Как отмечается в книге [8], работа [7] до сих пор остается единственной, достаточно полно описывающей спектральные свойства неосесимметричных мод колебаний дисков. На наш взгляд, недостаточный интерес к таким колебаниям может быть объяснен трудностью их возбуждения и регистрации. Задача настоящей работы -теоретическое и экспериментальное исследование свойств указанных низкочастотных мод.

ТЕОРИЯ СИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОГО ДИСКА

Изучаемые в настоящей работе моды были теоретически рассмотрены в работах [5, 6]. Однако для использования теоретической модели в эксперименте желательно более детальное обсуждение ее следствий. Ниже кратко приводятся основные результаты теории симметричных колебаний изотропного диска и более подробно рассматриваются свойства изучаемых мод.

Произвольное колебание тонкого диска может быть представлено как суперпозиция волн всех возможных типов, которые могут распространяться в тонкой пластине. Как известно, на низких частотах имеется три типа волн [9]. Два из них представлены низшими волнами Лэмба (изгибной и продольной волнами тонкой пластины), третий тип - поперечной SH-волной. Если интересоваться колебаниями, не зависящими от толщины пластины, то изгибные волны следует исключить из рассмотрения. Оставшиеся волны относятся к симметричному типу движений, сохраняющему неподвижной серединную плоскость пластины. Два указанных типа волн в ограниченной пластинке оказываются связанными условием отсутствия напряжений на боковой границе. Результирующее составное движение и представляет собой интересующие нас моды.

Следуя работе [5], для описания симметричных колебаний бесконечно тонкой плоскопараллельной изотропной пластины введем вспомогательные функции

9=Vit и 2W= Vx и , где и и V - соответственно вектор смещения и оператор пространственного дифференцирования вдоль плоскости пластины. Функция 6 имеет смысл относительного изменения площади элемента пластины при его деформировании, вектор W характеризует поворот этого элемента. Вектор W перпендикулярен пластине, т.е. имеет лишь z-компоненту, которую мы обозначим W. В случае гармонических колебаний вида exp(-iatf) функции 6 и W описываются соответствующими уравнениями Гельмгольца

А6+ kp26=0, AW+ kt2W= 0 .(1)

Здесь kp=w/cp - волновое число продольной волны в пластине, cp = 2ctyj 1 - ct2/c2 -

скорость этой волны, kt=w/ct - волновое число SH-волны, ct и ci - скорости сдвиговой и продольной волн в безграничной среде. При исследовании колебаний тонкого круглого диска удобно перейти к полярным координатам (г,ф). Общее решение уравнений (1) в цилиндрических координатах может быть записано в виде суперпозиции решений вида

6=a emj J m(kpr), w=ib emj J m(kt Г ),

где A и B - произвольные постоянные (они несколько отличаются от использованных в [5]), мнимая единица перед B введена для удобства, Jm - функции Бесселя, m = 0, 1, 2, ... - угловой индекс. Смещения иг , иффи напряжения ГГф , Гп- , Тфф могут выражены через найденные функции 6 и W. Расчет дает следующие выражения:

(2)

иф=-1 e

imj

rj

- i m e

imj J

2 Am

jm(X) J m(X)

+ 2 B

фф

2me

imj J

f

J m,(X)+ 2

1 - ^

1 C2

t"() J m(V) , 2 J m (v) J m (v) - J m (V J m(v) J m (v)

(3) (4)

(5) (6)

(7)