Что такое «финансовые пирамиды»: подходы и определения

Димитриади Г.Г. fgdimitriadi@yahoo.com)

Институт системного анализа РАН

1.Введение

В прессе часто встречаются упоминания о тех или иных финансовых пирамидах, сообщения об очередных обманутых вкладчиках. Возникает естественный вопрос, а что такое финансовые пирамиды? Как их понимают журналисты, население страны и, наконец, исследователи-экономисты?

Оказывается, что существует несколько подходов к математическому описанию финансовых пирамид. В разделах 2-5 статьи описываются основные современные подходы, показано их разнообразие и разноплановость, а затем в разделах 6-7 вводится определение финансовой пирамиды в рамках сценарного подхода.

2.Рациональные финансовые пирамиды

Работа [1] посвящена изучению вопроса о том, что такое финансовые пирамиды (financial bubbles), могут ли они существовать, какие формы могут принимать в случае рационального поведения всех участников рынка, а также с помощью каких тестов можно их обнаружить.

Не давая определения финансовой пирамиды, авторы упоминают, что под ними «обычно подразумевают изменения цены, необъясняемые очевидным образом доступной на текущий момент информацией и имеющие вид быстрого роста с последующим крахом или хотя бы резким упадком».

В работе подразумевается наличие эффективного рынка, а также делается довольно сильное предположение о том, что все участники рынка после «объявления» цен имеют одну

p — p + x

и туже информацию. Доходность владения активом есть

r = гм г, • ~t . Здесь

p - цена

Pt

актива, xt - доход от актива в момент времени t, называемый авторами «дивидендом». В

работе полагается, что E (Rt \Qt ) = r, E (pt+1 pt) — pt + xt = rpt, где r - заданная постоянная

величина, а Qt - информация, доступная всем участникам рынка в момент времени t. Ему удовлетворяет как базовая стоимость актива (fundamental), определяемая по формуле:

ад

А = 2>i+1E (xM \Qt) , где в = (1 + r) 1 < 1, -

i=0

так и любая другая вида:

pt = pt + Ct, где E (Ct+1 Pt) = ^_1ct .

Далее в [1] приводится три примера таких ct , представляющих собой финансовые

пирамиды согласно введенному выше определению.

Дав определение и приведя примеры финансовых пирамид, авторы останавливаются на более сложных вопросах. Например, они получают, что могут существовать финансовые пирамиды в индивидуальном восприятии конкретных участников рынка, если отбросить предположение об одинаковой всеобщей информации, так как в этом случае базовые стоимости актива различны с точки зрения различных лиц.

Далее показано, что финансовые пирамиды не могут существовать в случае, если имеются только бесконечно долго живущие участники рынка. Также авторы утверждают, что пирамиды более вероятны на рынках со сложно определяемыми базовыми стоимостями активов, например, на рынке золота, и что пирамиды менее вероятны на рынках с достаточно

просто определяемыми базовыми стоимостями активов, например, на рынке «голубых фишек», на рынке пожизненных рент.

В следующем разделе затрагивается вопрос о влиянии финансовых пирамид на базовую стоимость рассматриваемого актива. Важно отметить, что наличие финансовой пирамиды влечет за собой изменение базовой стоимости актива.

Кроме того, в работе показано, что финансовая пирамида относительно цены одного актива может привести к изменению (уменьшению) цен на многие другие, то есть воздействовать на другие рынки. По мнению авторов существуют модели всеобщего равновесия с присутствием финансовых пирамид на рынке только одного актива.

Последняя часть работы [1] посвящена разработке тестов для обнаружения финансовых пирамид по статистическим данным. Поскольку описать все финансовые пирамиды не представляется возможным, авторы в качестве нулевой гипотезы используют гипотезу об отсутствии финансовых пирамид.

Сначала, считая известными цены p и дивиденды x, были получены границы изменения дисперсий для рациональных пирамид и было показано их нарушение на реальной статистике. Однако это нарушение может быть вызвано, например, иррациональностью поведения участников рынка и т.д., поэтому нельзя ничего точно сказать о наличии пирамид в рассматриваемом случае.

Затем были предложены и использованы на статистике тесты в случае, если известны только цены p: критерий серий и критерий хвостов распределений. Результаты их применения дают наличие финансовых пирамид на рынке золота. Однако эти критерии имеют еще меньшую силу, чем упомянутые ранее.

3. Финансовые пирамиды как игры Понци

В начале работы [2] авторы определяют финансовую пирамиду как частную компанию, которая привлекает депозиты частных лиц, обещая невероятно высокие проценты, многократно превышающие рыночные ставки. Какое-то время фирма поддерживает репутацию и выполняет собственные обязательства, но затем оказывается банкротом.

В тоже время существование финансовых пирамид нельзя объяснить с точки зрения рационального поведения индивидов. Различные авторы часто используют различные модели, связанные с нарушением рациональности, для объяснения этого явления. В работе [2] используется игровой подход.

Финансовая пирамида моделируется как стохастическая игра (в смысле теории игр) с неполной информацией между фирмой Понци и популяцией индивидуальных инвесторов.

Предполагается, что фирма Понци знает все свои ходы и ходы популяции во все предыдущие моменты времени, а индивиды - только ходы фирмы, свои собственные и, возможно, небольшого количества своих знакомых. Также предполагается марковское свойство истории, что позволяет ввести вероятностные функции перехода из одного состояния в другое. Фирма Понци играет на каждом шаге не с каждым конкретным индивидом, а с их совокупностью, а каждый из них - только с самой фирмой. После краха пирамиды в фирму больше никто не инвестирует. В работе [2] делаются и иные предположения.

В отличие от других подходов в [2] население не предполагается однородным, что является важным достижением авторов. Все множество реальных и потенциальных вкладчиков делится авторами на две большие группы: наивных и мудрствующих индивидов. Мудрствующие индивиды знают, что пирамида в конце концов обречена, но уверены также в том, что сумеют так вкладывать в финансовую пирамиду, что это принесет им прибыль. Они субстанционально рациональны, то есть максимизируют свою прибыль на основе всей имеющейся у них информации и текущих предпочтений. Их предпочтения, естественным образом, меняются со временем. В отличие от них наивные вкладчики не понимают, в какую игру они играют, и инвестируют потому, что так сделали до них другие и оказались в

выигрыше. Считается, что количество инвесторов среди наивных индивидов в основном возрастает пропорционально числу встреченных ими удачливых вкладчиков в пирамиду.

Авторы рассматривают стратегии мудрствующих индивидов. Вводится понятие стадийной усеченной игры с неполной информацией, то есть такой игры, которая происходит на одном шаге между индивидом и фирмой Понци. Подчеркнем, что на самом деле фирма играет с совокупностью индивидов, но не с каждым их них, а индивиду видна именно усеченная игра. В работе получено, что в стадийной усеченной игре в

стратегической форме равновесные компоненты (в+С, I) и (в- D,W) содержат

совершенные, последовательные, собственные и сущностные равновесия, если только фирма считает оптимальной стратегию C и D соответственно, а индивид приписывает достаточно высокие вероятности соответствующим событиям. Несмотря на то, что согласно этому предложению в усеченной (то есть в воспринимаемой индивидом) игре имеются два равновесия, верно следующее утверждение: единственное равновесие в стохастической игре Понци с неполной информацией есть тривиальное равновесие (D,W) в каждой стадийной

игре.

Это утверждение на первый взгляд кажется парадоксальным, однако оно строго доказывается. Его верность и существование реальных финансовых пирамид связано с тем, что рассмотренная выше усеченная игра не отражает всей полной игры (фирма Понци играет с популяций, а не с конкретным индивидом), а также с неполной информацией, имеющейся у последнего.

Авторы [2] подробно рассматривают динамику количества наивных и мудрствующих индивидов, а также динамику инвесторов из их числа. Наивные индивиды выбирают собственную стратегию исходя из своих текущих наблюдений о наиболее выгодной стратегии и числе знакомых - удачных вкладчиков. Также вклады могут забираться инвесторами для оплаты непредвиденных счетов. Для описания такого поведения наивных индивидов авторы используют уравнения репликаторной динамики в дискретном варианте, которые позволяют учесть описанные выше обучающие правила.

Также вводятся некоторые предположения о поведении мудрствующих индивидов. Важным моментов является то, что они все же участвуют в игре Понци, так как не имеют полной информации обо всей игре. Среди их убеждений имеется вероятность того, что, по их мнению, финансовая пирамида закончится на следующем шаге. Эта вероятность растет со временем, в пределе стремясь к единице. Используя это и другие предположения, в работе получены уравнения динамики наивных, мудрствующих индивидов, их общего количества и числа инвесторов среди каждой из этих групп.

Основной вывод звучит как:

«НЕ ИГРАЙТЕ В ИГРЫ ПОНЦИ!»

4. Сценарный подход к описанию финансовых пирамид

В работах [3, 4] имеется модель роста финансовой пирамиды, призванная качественно объяснить механизм дефолта 1998 года.

С. В. Дубовский в [3, 4] предложил модель финансовой пирамиды (так называемый сценарный подход к описанию финансовых пирамид), в которой различные случаи роста объемов непогашенных ценных бумаг в обращении или объемов текущих продаж этих бумаг задаются как сценарии - монотонно растущие функции времени. Пирамида функционирует без реинвестирования собранных средств и только до того момента, когда текущие расходы на погашение ценных бумаг, выпущенных ранее, становятся равны текущим доходам от продажи новых бумаг. Этот момент и является моментом прекращения существования пирамиды, так как продолжение работы принесло бы Организатору убытки. С этого момента в случае продления жизни пирамиды суммарный капитал, собранный Организатором, перестает расти и начинает убывать. Таким образом, гипотеза о крахе пирамиды из-за исчерпания потенциальных вкладчиков в модели С. В. Дубовского не обязательна, хотя