сценарий с замедлением роста объемов продаж бумаг пирамиды может быть задан, например, с помощью уравнения логисты. Три формальных соотношения - уравнение роста пирамиды, условие прекращения ее функционирования и сценарий роста объема непогашенных ценных бумаг или объема их текущих продаж - позволяют вычислить основные показатели пирамиды: длительность безубыточного существования, объем капитала, собранного Организатором, а также доходы и потери вкладчиков.

В [3, 4] приведены аналитические выражения для длительностей безубыточного существования пирамиды по двум сценариям - линейного и квадратичного временного роста объемов непогашенных бумаг. Оказалось, что сроки безубыточного существования пирамиды зависят только от сроков выполнения обязательств и процента, выплачиваемого вкладчикам. Наклон прямой линейного роста и параметры квадратичного роста влияют на доходы и потери, но не влияют на длительность существования пирамиды. К трем основным соотношениям модели С. В. Дубовский добавил двухпараметрическую функцию спроса вкладчиков на ценные бумаги пирамиды. Этот спрос растет с ростом доходности для вкладчиков, бесконечен при нулевой цене номинала и равен нулю при цене, равной номиналу. Включение такой функции спроса в сценарий роста позволило вычислить оптимальную цену, при которой капитал, собранный Организатором пирамиды, достигает максимума.

Рост финансовой пирамиды описывается автором уравнением dG = g(t) - g(t - p) ,

dt

условие существования записывается как cgg(t) - g(t -p) > 0.

Здесь через G обозначен объем пирамиды по номиналу, g(t) - номинальная стоимость ценных бумаг, реализованных в момент времени t , cg - цена продажи ценных бумаг в долях от номинала, p - время погашения ценных бумаг, считая от момента продажи.

Из приведенных уравнений видно, что, так как всегда cg < 1, то финансовая пирамида

заведомо убыточна для Организатора, если она не является растущей.

Автором получены аналитические формулы времени жизни финансовой пирамиды для сценариев ее линейного и квадратичного роста:

g(t)-g(t-p) = в и

g (t) - g (t -p) = e(t - tQ).

Например, если вкладчикам выплачивается 100% годовых (p = 12 мес., cg = 0.5), то

«линейная» пирамида безубыточна в течение 24 месяцев, а «квадратичная» - 35.

С помощью модели такого рода и иных рассуждений автор [3, 4] дает качественное объяснение дефолта 1998 г. в России.

5. Обсуждение описанных подходов

Из приведенных выше описаний видно, что под финансовыми пирамидами могут пониматься хотя и концептуально подобные, но совершенно различные объекты (явления).

В подходе «рациональных финансовых пирамид» [1] под ними понимаются «изменения цены, необъясняемые очевидным образом доступной на текущий момент информацией и имеющие вид быстрого роста с последующим крахом или хотя бы резким упадком», то есть один из видов рыночного поведения.

В работе [2] декларируется, что финансовая пирамида - это частная компания, привлекающая вклады от частных лиц, обещая невероятно высокие проценты, многократно превышающие рыночные ставки, причем она какое-то время поддерживает репутацию и выполняет собственные обязательства, но затем оказывается банкротом. Такое понимание характерно для описания финансовых пирамид в ежедневной прессе.

Если говорить точнее, то в игровом подходе под финансовой пирамидой понимается один из видов экономического поведения - игра Понци (по имени итальянского исследователя, впервые описавшего финансовую пирамиду в научной литературе).

В рамках сценарного подхода С. В. Дубовский не дает четкого определения, видимо, предполагая, что финансовая пирамида - это такой вид поведения ее Организатора, при котором выполнение принятых на себя обязательств происходит только за счет привлечения новых займов.

Таким образом, не существует единого подхода к понятию термина «финансовая пирамида».

Ниже предложено более подробное определение финансовой пирамиды в рамках сценарного подхода.

6.Развитие сценарного подхода

Из приведенного обзора и журналистских публикаций в прессе ясно, что при некотором общем понимании того, что такое «финансовые пирамиды», они могут принимать совершенно различные формы.

Например, существуют схемы, где каждый очередной участник должен привлечь не менее 4 новых, или схемы, связанные с организацией холдинга, активной рекламой входящих в него компаний и продажей их акций в момент максимального роста цены.

Ниже делается попытка, если не охватить все ситуации (например, видимо, не будут учтены случаи, рассмотренные в подходе «рациональных» пирамид), то, во всяком случае, отвлечься от организационной формы и дать как можно общее определение.

Определение 1. Финансовая пирамида - это такая политика управления внешними заимствованиями организации1, при которой в течение продолжительного периода времени выполнение обязательств происходит только за счет привлечения новых заимствований.

Такое определение более подходит для стороннего наблюдателя, так как использование модели пирамид для описания задолженности организаций вполне естественно, потому что поведение менеджмента компании в отношении внешних заимствований по типу финансовой пирамиды (то есть выполнение собственных обязательств за счет новых займов) является пессимистическим вариантом развития фирмы. Для стороннего наблюдателя как раз важно выяснить, укладывается ли поведение организации в модель финансовой пирамиды и, если да, то с какими параметрами.

Дадим еще один вариант того же самого определения, который удобнее использовать при описании пирамид с точки зрения Организатора.

Определение 2. Финансовая пирамида - это следующая финансовая схема. Организатор финансовой пирамиды продает обязательства, по которым он обязуется выплатить определенную сумму в будущем, причем их исполнение происходит только за счет выручки от продаж новых обязательств.

Предполагается, что Организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.

Рассматривается только период существования финансовой пирамиды до ее краха.

Важной особенностью подхода является то, что крах финансовой пирамиды обусловлен не исчерпанием числа вкладчиков или иными подобными причинами, а тем обстоятельством, что у Организатора в какой-то момент времени может оказаться недостаточно средств для выполнения своих обязательств.

Такое определение неявно использовалось при развитии сценарного подхода в работах [59], но будучи сформулированным, оно позволяет применить полученные результаты к более широкому кругу ситуаций.

7.Основные идеи сценарного подхода

Для иллюстрации сказанного кратко приведем основные идеи сценарного подхода.

Под термином «организация», «Организатор», «фирма» понимается лицо (юридическое или физическое), которое фактически организует финансовую пирамиду и может существенно влиять на ее существование.

Обязательства Организатора без ограничения общности будем считать бескупонными облигациями, а сумму обязательств по каждой бумаге будем называть ее номиналом. Без ограничения общности примем номинал равным единице.

Будем использовать следующие обозначения. Считаем, что финансовая пирамида начинается в момент времени t = 0.

G(t) - непогашенный к моменту времени t объем ценных бумаг финансовой пирамиды по номиналу, находящихся в обращении;

V (t) - доход Организатора финансовой пирамиды;

W(t) - суммарный доход вкладчиков финансовой пирамиды;

g(t) - объем распроданных в момент времени t облигаций Организатора по номиналу;

в > 0 - фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств Организатора (то есть срок, на который выпускаются его облигации), отсчитываемый от момента их продажи.

Итак, предполагается, что ценные бумаги Организатора финансовой пирамиды суть, например, бескупонные облигации с одинаковым сроком погашения в относительно момента их продажи.

g(t-в) - объем по номиналу проданных Организатором в момент t-в облигаций, подлежащих погашению в момент времени t .

Cg (t) е [0;1] - цена, выраженная в долях от номинала, по которой происходят продажи

облигаций в момент времени t.

Организатор выполняет свои обязательства перед вкладчиками только за счет выручки от продажи ценных бумаг в рамках финансовой пирамиды, то есть не привлекая средств со стороны.

В рамках этого предположения ясно, что если в какие-то периоды времени продается «слишком маленькое» количество ценных бумаг Организатора, то, так как выручка, получаемая Организатором в момент времени t c (t)g(t)2 меньше, чем принятые на себя

обязательства g(t), в какой-то момент у Организатора может не оказаться средств для

выполнения своих обязательств.

Исходя из экономического смысла введенных величин и сделанных предположений, можно записать, что

dG = {g (t)t <в, G (0) = 0,(1)

dt 1 g (t) - g (t -в), t >в

dV [cg (t) g (t), t <в

— = J gWSW, V(0) = 0,(2)

dt 1cg(t)g(t)-g(t-в),t >в

0, t <в

dW dt

, W (0) = 0.(3)

1 - cg (t-в) 1 g (t-в), t >в

Используя эти формулы, можно рассчитать функции G (t), V (t) и W (t) в любой момент времени по известной функции g(t).

При записи этих формул не предполагается постоянство цены. Она, как и остальные величины, вообще говоря, зависит от времени: cg = cg (t).

Кроме того, в модели вводится функция спроса на облигации Организатора пирамиды (подробно обсуждена в [7]).

2 Исходя из рыночной действительности, легко понять, что продажи бескупонных облигаций Организатора будут иметь место только в случае, если цена cg, выраженная в долях от номинала, меньше 1 при отсутствии внеэкономических средств воздействия.