Процессы установления нелинейных колебаний газового пузырька в жидкости

Соседко Е.В. (s kat@mail.ru)

Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева ДВО РАН

Исследованы нелинейные колебания газовых пузырьков при различной длительности внешнего воздействия. Рассмотрен эффект нестационарной раскачки нелинейных колебаний пузырьков при различных соотношениях между частотами - внешней силы a>p и собственных колебаний Q0. Показано, что раскачка нелинейных колебаний на комбинационных частотах существенно отличается для резонансных пузырьков на частотах основного и субгармонического резонанса и для нерезонансных пузырьков. Переходные процессы при нелинейных колебаниях пузырьков промоделированы в широком интервале определяющих параметров. Проведены сравнения с экспериментальными результатами других авторов.

Изучение переходных процессов в нелинейных резонансах газовых пузырьков в жидкости представляет собой исследование «горячей точки» в физике кавитационных явлений. Своеобразие реакции пузырька как нелинейной динамической системы на внешнее гармоническое воздействие частоты a>p состоит в появлении субгармонических составляющих. Наиболее широко субгармоническая компонента акустического излучения используется при работе с контрастными агентами - газовыми пузырьками, покрытыми липидной оболочкой, применяемыми в ультразвуковой медицинской диагностике. В настоящей работе исследованы процессы установления колебаний пузырьков на субгармонических частотах.

Проанализируем радиальные пульсации газового пузырька в жидкости под действием мощной акустической волны. В качестве примера такого сигнала выберем импульс длительностью Timp, с частотой заполнения a>p, и амплитудойpm.. Таккак

возбуждение субгармонической составляющей носит пороговый характер, то величина и вариации порогового значения амплитуды давления pm представляют значительный интерес, поскольку субгармонический сигнал возникает только в определенной области значений определяющих параметров pm и a>p - выше порога. Однако, начиная с работы Непайерса [1], отмечается наличие небольшой субгармонической составляющей и ниже порога [2-4], так что нарастание этой спектральной компоненты не имеет, строго говоря, порогового характера.

Отсутствие порога возбуждения субгармонической составляющей связано со спецификой переходных процессов в окрестности субгармонического резонанса. В окрестности порога теряет свою устойчивость состояние с периодом собственных

колебаний близким к удвоенному периоду внешнего поля (неустойчивость удвоения периода). В этом случае обращается в нуль один из двух показателей Ляпунова характеризующий линейную устойчивость указанных колебаний. При включении внешнего поля, передний фронт импульса, проходя через пузырек, помимо вынужденных, возбуждает и собственные колебания с периодом 2 Т. В окрестности порога затухание собственных колебаний, определяемое показателем линейной устойчивости, благодаря параметрической перекачке энергии в эту компоненту, очень мало. Оно обращается в нуль для порогового значения амплитуды накачки. В течение продолжительного времени пузырек продолжает совершать колебания на собственной частоте, не совпадающей с частотой внешнего воздействия. По этой причине время переходных процессов может превышать длительность импульса накачки, а соответствующая компонента в спектре излучения интерпретироваться как появление субгармонической компоненты ниже порога.

Для рассмотрения обсуждаемого эффекта использовано уравнение Рэлея-Плессета (РП), описывающего пульсации пузырька в поле давления Pp = pmcos(copt+a).

rr + 3 r2 + p

p0

1 -

V r j

+ ™r r = -p,(1)

0

здесь Ro , R - равновесный и текущий радиусы пузырька, P0 и р0 - равновесные значения давления и плотности жидкости, у - показатель политропы, ё - затухание, эффективно учитывающее диссипативные процессы вязкости и теплопроводности, а также радиационные потери.

Для решения уравнения РП часто используют асимптотические методы, наиболее известным из которых является метод Боголюбова. Асимптотическое разложение решения в окрестности субгармонического резонанса \cop -2Q0\ << cp имеет следующий вид [6]:

pm cos(cpt + а) (R - R0) /R0 = acos(zQ01 +13) +p02) +

p0r0 (Jp -00)

+su1(a,3, t) + s2u2(a,3, t) +...(2)

здесь Q0 = (3yP0/p0R02)1/2 - собственная частота пузырька; s - безразмерный малый параметр, вводимый для обозначения порядка нелинейных членов, u1(a,3,t), u2(a,3,t) -члены разложения высших порядков.

Медленно меняющиеся амплитуда a и фаза и колебаний определяются из системы «укороченных» уравнений, следующей из требования отсутствия секулярных членов в

разложении. Учет в (1) нелинейных членов до второго порядка включительно приводит к следующему уравнению для z=aexp(i3)exp[-i(cop/2- Qo)t]:

= -Sz -iAQz -iS^ exp(ia) z *, AQ= mp/2 -Q

0-

(3)

ks

где pks = 4SQ 0p0 R^Y 1 - порог субгармонического резонанса.

Решение системы уравнений с постоянными коэффициентами (3) имеет вид

z (t) = exp(-^t )-2

z (0)

1 - i

2 AQ

■iz * (0)

+

(4)

+ exp(-A2t)

1

r(0)1 + i

2AQ

+ iz * (0)

где 2 = S

m-\{pi/pI.)-(AQ /S)2

показатели линейной устой-

чивости. Вблизи порога pm=pb-Ap, Ap>0, Ap«pb, pb = p1s 1 + (AQ/S) показатель A1 « S (Appb/pls) мал, поэтому первое слагаемое в формуле (4) будет доминировать на временах t = Лх - 1 ~ I~S (Apphf p^s )~ >> ё1 и описывать

субгармоническую компоненту излучения пузырька.

Подстановка явных выражений для начальных значений z(0), z*(0) дает следующее выражение колебаний относительно радиуса пузырька на собственной частоте вблизи субгармонического резонанса:

a(t) cos(Q0t + )(t)) = a(0) (pb / pks) exp [-St (Appjp2b)_ x x Re {exp [i ((a)p / 2)t + arctg(2tga))] x

x0,5 [exp i(arctg(AQ/ S)) - exp i (n / 2 - 2arctg(2tga) + a)]}(5)

Затягивание собственных колебаний пузырька, возбужденных передним фронтом импульса накачки, позволяет объяснить экспериментально наблюдаемую генерацию субгармонического сигнала ниже порога. В эксперименте [2] зондирование области, в которой с помощью электролиза создавались пузырьки с размерами (5-10)*10-6 м, производилось ультразвуковыми импульсами с частотой заполнения 1,2 Мгц и