Задача Куэтта в канале с зеркально - диффузными

граничными условиями

Латышев А.В., Юшканов А.А. (yushkanov@mtu-net.ru)

Московский государственный областной университет

Исследовано влияние коэффициентов аккомодации тангенциального импульса молекул на нижней и верхней пластинах на поведение газа между движущимися пластинами с произвольными зеркально - диффузными граничными условиями. Решение строится в широком диапазоне чисел Кнудсена, много больших единицы.

При описании движения газа в каналах [1]-[6] рассматриваются, как правило, чисто диффузные граничные условия. Оказывается, что эффективная техника аналитического решения, развитая для полупространственных задач [7], в данном случае непосредственно не может быть применена. Вместе с тем вызывает большой интерес влияние свойств поверхности на поведение газа в каналах. В работах [5],[6] была сделана попытка получить аналитическое решение для почти зеркальных граничных условий. Для задачи Куэтта таким свойством поверхности, которое оказывает определенное влияние на поведение газа, является коэффициент аккомодации тангенциального импульса молекул.

В настоящей работе получено решение задачи Куэтта при произвольных зеркально - диффузных граничных условиях на стенках канала, которые движутся в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Получены выражения для потоков массы, тепла, силы трения и массовой скорости. Установлено, что наряду с

классическим режимом течения существует для широкого канала и новый режим, реализующийся для чисел Кнудсена, много меньших единицы, но много больших коэффициентов аккомодации. Переход к классическому режиму осуществляется, когда число Кнудсена становится много меньше коэффициентов аккомодации. В этом случае выражения для макропараметров совпадают с известными.

Постановка задачи

Пусть имеется плоский канал толщиной 2d (x<d), стенки которого движутся в своих плоскостях в противоположных направлениях со скоростями U и -U. Введем декартову систему координат с центром в середине канала. Ось x проведем перпендикулярно плоскостям стенок канала. Ось z направим вдоль направления движения стенок канала. Будем считать, что движение носит стационарный характер. Рассмотрим случай, когда скорость движения стенок канала много меньше скорости звука в газе. В этом случае задачу можно линеаризовать. Поэтому функцию распределения f молекул газа по скоростям будем искать в виде

f = f0(1 + h), f0 = п(в / п)3 / 2 exp(-ev2), в = m /2kT.Возьмем

линеаризованное БГК - уравнение в безразмерных переменных dh

Cx — + h(x,C) = 2C U (x), Uz(x) = п"3/2 fexp(-C,2)CZh(x,C)d3C (1)

Рассмотрим зеркально-диффузные граничные условия на поверхности канала с коэффициентами аккомодации тангенциального импульса (коэффициентами зеркальности) q1, q2 (0 < q^ < 1), j = 1,2 :

h(-d,C) = (1 - q1 )h(-d,C + 2nxC) - 2UCzq1, Cx > 0(2)

h(d, C) = (1 - q1) h(d, C + 2n2C) + 2UCzq1, Cx < 0

Здесь ni, n2 - единичные векторы нормали к поверхностям стенок по направлению внутрь канала. Из вида уравнения (1) и граничных условий (2) следует, что функцию h можно искать в виде h = С2ц/( x,fS), ju = Cx. При этом задачу (1), (2) можно преобразовать к

виду:

ju-^ + i{/( x, ji) = -,= f exp(—JU2)ц/( x,j)dj,(3)

dxVn J

* —oo

\l/(-d =(1 — q1)w(—d ,—ju)— 2Uql, M> 0,

(4)

y/(d ,ju) = (1 — q2)y(d ,—ц) + 2Uq2, ju< 0. Используя разложение функции у на сумму у = у0 (x, /л) + ц/с (x, /л), где функция y0 (x, ju) = a0 + a1 (x — ju) является решением уравнения (3), представим граничные условия (4) в виде: у с (—d, ц) = (1 — q1 )Цс (—d + a1(2 — q1 )j — q1 — + 2U), j > 0,

Wc (d, M) =(1 — q2 )WC (d + a1(2 — q2 )M — q2(a0 + a1d — 2U), M < 0. Обозначим:

у с (—d = Qj) = C1, ji< 0, ц/с (d, j) = C2(p) = C2, j> 0. С помощью этих обозначений получаем, что последние граничные условия определены на всей числовой оси:

Ус (±d,j) = M±(ji), — o < j < o,(5)

где

M — (j) = H + (j)p1 (j) + H — (— ji)Cx, M+ (j) = H + (—ji)(P2 (j) + H + (j)C2 .

Здесь