F ± (л, d) = F2{ri) ± i^ri exp(-7/2 )[H + (-7)42 (л) + H + (лС ], (15)

1 гю2

FM = -г1 t exp(-t2)

1 + р1(л> t + л t - л

dt,

F2(i)

1

0 texp(-t2)

C21 + p2(-)

t - л t + л

dt

(16)

(17)

Подставляя в соотношения (14) сначала равенства (15), а затем (16), получаем формулы для вычисления коэффициента a(r):

exp(d)a(r) = Кл){л(л)[H + (л)р1(л) + H + (-r)C1] - F1()} 77

(18)

d

exp(—)a(r) = у(л){Л(л)[H+ (-7)4)2(7) + H + (л^] - F2()}, (19)

л

где

Y(l)

77e

exp(-772)

Л (л) л- 7л)

Вычисляя интегралы типа Коши (17) и (18), имеем: F1 (л) = C1t1 + a1(2 - q1)t2 (л) + [(1 - q1 )С1 - q1 (a0 - a1d + 2^)]t1(л),

F2 (л) = C2t1 (л) - a1(2 - q2 )t2 (-77) + [(1 - q2 )С21 - q2 (a0 + a1d - 2^)]t1 (-Л).

Здесь

, ч 1 г™тк exp(-r2) 7/~ \

tk (л) = —}0---- dr, к = 1,2, t2(z)

1

■ + zt1 (z)

2

Vn0 т-л2v я

С помощью последних равенств преобразуем формулы (14) и (15). Для этого заметим, что

Л(л)[ H + (лМ(л) + H + (-л)С1] - F1(7) = = q1sign(7)(-a0 - С1 + - 2UX (-1 л I) - a1(2 - q1)t2(-1 л I), Л(л)[ H + (-лШл) + H + (л)С2] - F2(7) =

q2sign(7)(a0 + С2 + - 2U)t1 (-1 л I) + ^(2 - ^У2(-1 л I).

С помощью этих равенств на основании (18) и (19) получаем следующее выражение для коэффициента непрерывного спектра:

1

+ - ш - q2)]sign(n)^1(-11\) + a1(q1- Ч2Ш-111)}.

Подставляя в это равенство выражения для коэффициентов согласно (11), (12), находим явное выражение для коэффициента непрерывного спектра:

2

л/л

Ниже понадобится значение интеграла по всей действительной оси от выражения (20):

-U"—)sh d-di = 2Ur° Mji^,(21)

где

-a-)sh - = Uqq2(q1 - q2) r-)

1Q(q1, q2)

(20)

0 = 1 p r(1)t1(-1)-1 = 0.141047.

Vr-t0

Граничная задача (3), (5) полностью решена. Ее решение дается равенством (6), причем коэффициенты a0, a1, C1, C2 даются

равенствами (12), (13), а функция a(1) -равенством (20).

Макропараметры газа в канале (потоки массы, тепла, сила трения и массовая скорость)

Будем считать, что штрихованные величины - безразмерные, а нештрихованные - размерные. Выразим плотность потока массы через функцию у:

Ju(xl = f mvzfd 3v = :Г7= f exp(-j"2M x\M)dM. J2J яр J

Подставляя в это равенство (5) и используя определение потока массы газа в направлении оси z, имеем:

1

Ju =

(*юp1 (*юd

r-l ju (*)d* = — a0 d +-/=1 лa(л)sh—d7

Заменим здесь a0 согласно (11), а значение интеграла заменим его значением (21). Находим, что поток массы газа, приходящийся на единицу ширины канала, равен

2pU(#1 - q2)[ о ) d„(22)

приведем формулу (22) к размерному виду, полагая U=s[J3U,

d=v-yfJ3 d. Учитывая, что для БГК-модели динамическая вязкость л = p/2vP, и выбирая длину свободного пробега молекул согласно [5] l = ллГП/ Р, находим, что d=4n d/2l. Следовательно, поток массы в размерном виде равен:

Ju = 4л VPU

(п -a04Kn)41#2 - 4KnJ • (24)

Q(#1, Ч2)

Здесь

Q(Ч1,q2) = (Kn-1 - 1 + 4a0)q1q2 + (1 - a0q1q2)(q1 + #2).

Вычислим силу вязкостного трения в направлении оси z, приходящуюся на единицу площади поверхности:

Подставляя в это соотношение (4), находим выражение для силы трения (в размерном виде)