Финансовые пирамиды в рамках сценарного подхода: «шаг» пирамиды и ее время жизни

Г. Г. Димитриади fgdimitriadi@yahoo.com )

Институт системного анализа Российской академии наук

1. Введение

Статья [1] посвящена ответу на вопрос, что такое финансовые пирамиды. Существует несколько различных пониманий этого термина и, соответственно, разнообразие в подходах к описанию и моделированию пирамид.

Здесь будем понимать финансовые пирамиды в рамках сценарного подхода. Напомним, что в соответствии с ним пирамиду рассматривают как финансовую схему, в рамках которой обязательства ее Организатора эквивалентно выражаются как бескупонные облигации с одинаковым сроком до погашения (см. подробнее в следующем разделе).

Зададимся естественно возникающим вопросом: а как время жизни, то есть время безубыточного существования пирамиды, зависит от этого срока, называемого «шагом» пирамиды? Из интуитивных соображений следует, что должна иметь место монотонно возрастающая зависимость. Статья посвящена строгому ответу на этот вопрос.

В разделах 2-4 кратко излагаются основные идеи сценарного подхода к описанию финансовых пирамид в соответствии с работами [2-4]. В разделах 5-6 излагаются результаты исследования зависимости времени безубыточного существования финансовой пирамиды от ее «шага».

2. Модель финансовой пирамиды

В сценарном подходе под финансовой пирамидой понимается следующая финансовая схема. Организатор финансовой пирамиды продает обязательства, по которым он обязуется выплатить определенную сумму в будущем, причем их исполнение происходит только за счет выручки от продаж новых обязательств (см. [2-4]). Предполагается, что Организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.

Обязательства Организатора без ограничения общности считаются бескупонными облигациями, а сумма обязательств по каждой бумаге называется ее номиналом. Без ограничения общности номинал принимается равным единице.

Используются следующие обозначения. Финансовая пирамида начинается в момент времени t = 0. V(t) - доход Организатора финансовой пирамиды; g(t) - объем

распроданных в момент времени t облигаций Организатора по номиналу; в > 0 -фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств Организатора (то есть срок, на который выпускаются его облигации), отсчитываемый от момента их продажи; cg (t) е [0; 1] - цена, выраженная в долях от номинала, по которой

происходят продажи облигаций в момент времени t.

Итак, предполагается, что ценные бумаги Организатора финансовой пирамиды суть бескупонные облигации с одинаковым сроком погашения в относительно момента их продажи.

Основное уравнение динамики финансовой пирамиды имеет вид:

dV \ce (t) g (t), t <в

a__ = i gwsw,, v(0) = 0.

dt \cg(t)g(t)-g(t-в),t >в

Кроме того, в модели вводится функция спроса на облигации Организатора пирамиды (подробно обсуждена в [4]). dV

Тогда — = cg (*)g(*) - g(* где g(0) = 0 при t e [-в,0) и g(t) = ga<I>(cg (t))f (t) при

t > 0, - зависимость выручки Организатора финансовой пирамиды от времени. Функция g(t) разложена в произведение двух функций: функции спроса o(cg), зависящей от цены

обязательств Организатора, и заданной функции роста f (t) - априорного сценария притока

вкладчиков пирамиды в зависимости от времени. g0 - постоянная - коэффициент

пропорциональности для выбранных единиц.

3.Модель с учетом вложений в рекламную кампанию обязательств Организатора финансовой пирамиды

В качестве развития модели был предложен ее вариант с учетом расходов на рекламную кампанию, позволяющую стимулировать продажи облигаций Организатора финансовой пирамиды. Считаем, что рекламная кампания финансовой пирамиды приносит как дополнительные издержки Организатору, так и дополнительный приток инвесторов [4].

Для учета рекламной кампании вводится дополнительный параметр - управление: s(t) -доля вложений в рекламную кампанию (доля от текущей выручки от продажи ценных бумаг Организатора), s(t) e [0,1].

В случае с учетом рекламной кампании обязательств основное уравнение динамики финансовой пирамиды перейдет в следующее:

dV _lcg(t)s(t)g(tXt <e, v(0) = 0.

~dt ~\cg(t)s(t)g(t)-g(t-в),t>в

В варианте модели с учетом рекламной кампании соответственно g(t) _ goe/s<£>(cg) f (t)

при t > 0: функция g(t) представлена в виде произведения трех функций: функции

эффективности вложений в рекламу eJS, зависящей от доли вложений в рекламу, функции спроса Ф(<^), зависящей от цены обязательств Организатора, и заданного сценария притока

вкладчиков в зависимости от времени f (t). g0 - постоянная.

4.Цели Организатора финансовой пирамиды

В работах [3, 4] подробно обсуждены различные целевые установки Организатора финансовой пирамиды, конкретизирующие его поведение. Показано, что крайними взаимоисключающими вариантами целей являются следующие.

Цель 1. Целью Организатора финансовой пирамиды является максимизация своей выручки V(T) в момент окончания (краха) T финансовой пирамиды. Считаем, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.

Цель 2. Целью Организатора финансовой пирамиды является максимальное увеличение времени жизни (безубыточного существования) финансовой пирамиды, то есть величины T - момента окончания (краха) финансовой пирамиды. Считаем, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.

В [3, 4] получено утверждение о сравнении целей.

5.Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от ее «шага» в

В данном разделе рассмотрим модель без рекламной кампании обязательств Организатора, так как такое рассмотрение достаточно для изучения качественных характеристик пирамиды.

В сделанных предположениях считается, что все обязательства Организатора суть бескупонные облигации с одним и тем же сроком до погашения в > 0, отсчитываемым от момента продажи.

Это время в входит как параметр во все формулы для времени безубыточного существования пирамиды (см., например, [2] и [4, §3.1]).

Легко видеть, что согласно этим формулам для случая детерминированного притока вкладчиков с течением времени (то есть в случае без учета функции спроса на обязательства Организатора; такой случай можно рассматривать как основной, «эталонный» для последующих сравнений) время безубыточного существования монотонно возрастает с ростом параметра в .

Возникает впечатление, что обнаруженная закономерность имеет место всегда - тем более что она соответствует интуитивному предположению: чем на больший срок мы занимаем, тем через большее время придется отдавать, тем дольше будет существовать пирамида.

Докажем соответствующее утверждение.

Утверждение 1. Монотонно возрастающая зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от ее «шага» в.

Пусть для Организатора, преследующего цель 1, финансовая пирамида с зависимостью от времени объема продаж обязательств Организатора g(t), ценой их продажи cg (t) и

«шагом» в существует до момента времени T > в. Тогда до этого же момента T существует и пирамида, отличающаяся от первой только «шагом» ав, а > 1.

Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.

(Здесь считается, что g(t) = 0 при t < 0.)

Доказательство.

На промежутке времени [0, авв вторая пирамида существует, так как в это время еще не

имеет место выполнение обязательств Организатора. Докажем ее существование при t е[ав, T ].

1)Для Организатора, преследующего цель 1.

cg (t) g (t) - g (t - ав) = (cg (t) g (t) - g (t - в)) + (g (t -в) - g (t - ав)).

Первая скобка неотрицательна, так как представляет собой условие безубыточного существования первой пирамиды в рассматриваемый момент времени.

Вторая скобка неотрицательна согласно необходимому условию безубыточного существования первой пирамиды1, так как t -в > t - ав .

Итого cg (t)g(t) - g(t - ав) > 0, ч.т.д.

2)Для Организатора, преследующего цель 2:

tttt-авtt-в

jcg (£)g(£)d£ - jg(£ - авГ0£ = jcg (£)g(£)d£ - j g Wn > \ cg (£)g(£)d£ - j g(£)d£ > 0 .

000000

При записи первого равенства сделана замена г) = ^-ав и учтено условие g(t) = 0 при t < 0. При записи первого неравенства учтено, что t-в > t-ав и g(t) > 0. Последнее неравенство есть необходимое условие безубыточного существования первой пирамиды.

Утверждение доказано.

Если для Организатора, преследующего цель 1, финансовая пирамида существует до момента t0, то для нее должно выполняться: g (t) >-g (t -в), t е[в, t0 ] (см. [4, утв. 4.1.5]). А значит, так как

cg (t) е [0;1], то g (t) > g (t - в). Следовательно, g (t) - монотонно возрастающая функция при t е[в, t0 ].