F (t)

1 - e Ki J , t > 0, в > 0, в, > 0,

0,

t < 0,

да1

F (t)=2j+1 jut*м, а=0.

Для Гамма-распределения

f (t) = Fi(t)

r

1

F (t)

Y>, +1) 0,t < 0,

(-1))

taie 7i, t > 0, ai >-1, Yi > 0,

,?+\a, +1) j=0 Y/j!(a, + j +1) Г(x) = J ex-1e-xdx - Гамма-функция, Г(x + 1) = xГ(x)

-tJ+ai+1, Д = 1, а, = ai +1.

Для распределения Рэлея

f (t) = F(t) = \a

0,

t > 0,

t < 0,

1

(-1))

F (t) *22 (2a2 У j!(2 j + 2)

2 j+2

в, = 2, а, = 2.

i j =0 V— i

Для распределения Максвелла

fi (t) = F/(t) = <

4h3

x 2e "A2x2, t > 0,

0,

t < 0,

F (t)

4h3

да

2 (-1)

t2 j+3

в, = 2, а, = 3.

(16) (17)

j=00v j!(2j + 3)

Можно выписать аналогичные ряды и для других функций распределения. Получим выражение сверток для случая (15):

ff (t) = (Лщ * f2,n2 )(*) = Jf1,m (* - x)df2,n2 (x) =J(t - x)en1+а1 (в2n2 + x^+а2-1dx

(18)

= x = ,

t%, dx = td£\ = (в2 n2 +а2)*вл+e2n2+а+а2 j (1 -^)вл+а ^+а2-1d£ =

Здесь В(а,в) - Бета-функция [3]:

+1) t

+e2n2 +а +а2 +1)

2 ^2 / fвn1+An2+а1+а2

(19)

В(а, в) = J (1 -#)а-1#в-^, В(а, в)

Г(а)Г(в) Г(а + в)

По индукции получаем

1

0

2

0

0

Пг(М + а +1)

f(k) (t) = -1(Ьк ,nk)+ак1,(20)

кк

кк

i=1i=1

Так как мы имеем выражения сверток через ряды, то будем находить функции восстановления также в виде рядов.

3. Функция восстановления общего процесса восстановления k-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко

Пусть наработки X распределены по закону Вейбулла - Гнеденко (15). В соответствии с (13), (17), (20)

да_В -) - _

F (k)(t) = 2 (-1)nkl-k-=^-1(Ьк ,щ ),(21)

^Г((Ьк, Щ) +1) v ;

Шк=1,ni >0х \\ик>"к

к

вП

ик\Пе/л

Рассмотрим общий процесс восстановления к-го порядка. Для нахождения функции восстановления H(t) воспользуемся представлением (9), с учетом того, что для HFk(t) имеется представление [4]

даA(k)

(t)=2r \ „0.....t вкГ,(22)

A(k) =71, A2k) =Y2... , 4W =Уг-27 =r(ekf+1).

В результате интегрирования, аналогично (19), получаем

tда_A(k)В(к-1)- _

JHFk(t-x)dF(k-1)(x) =2 (-1fkl-k-^—-t(bk,щ).

J0nk1!^ Г((Ьк, nk) +1)

И окончательно

k-1 да _В-) - _ да _A(к)В-к-1) - _

f ^Г((Ь,, n,) +1)0k eknk Г((Ьк, nk) +1)

4. Функция восстановления периодического процесса восстановления к-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко

Для нахождения функции восстановления будем пользоваться представлением (10). Для этого требуется знать функции восстановления HF(n)F(k)(t). Их будем вычислять, используя представление (9):

t

HF(n) F(к) (t) = F(n) (t) + J HF(k) (t - x)dF(n) (x).(23)

0

Значит, задача сводится к нахождению функции восстановления простого процесса восстановления, задаваемого функцией распределения F<(kk(t). Для её нахождения имеем интегральное уравнение (3)

t

HF(к) (t) = F(к) (t) + J HF(к) (t - x)dF(к) (x).(24)

Пусть наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко (16). Будем искать HF(k)(t)

в виде

" _ A(k)- _

HF(k) (t) = Z (-1)Fkh k-~—k-1ihk Л).(25)

*=•r((hk, fk) + 1)П efr

i=1

В результате интегрирования, аналогично (19), получаем

t 0 0 _ _ A-k) B "k)- _ _

j HF(k )(t - X)dF(")( x) = ZZ(-1)FkH"kl-~—--k-1(hk,( Fk+"k))

0r 1 "k 1 r((hk ,(Fk + "k))+щеf

i =1

0t(ht a)A(k)B(k)

= Z(-1)& r((h -s ) +1) Z(26)

"k >1 i=1

Подставляем (25) в обе части интегрального уравнения (24) и, учитывая (21) и (26), получаем соотношения для определения коэффициентов ):

A«_ 0B(k) -

k-k _S±_t (hk ,Sk ) =Z(-1)Sk-k _-_t (hk ) +

0A-—0

1)Sk-k _-_t (hk ) =Z(-

У Пе^бЛ)+1)r((hk,Sk)+1)

0t(hk ,Sk)A(k)B^k)

+Z(-1)Sk^— z atb"l-

Sk=2,r((hk, Sk ) + 1) Fk+"k =Sk, Г! e S

"k > i=1

Отсюда Af = 4? при Sk =1, Af ^ +(-1)k5ZA^)"k^ =1 Sk >2

"k=1

Пп(Дд)+1)

Таким образом, коэффициенты представления HF^^(t) в виде ряда (23) определены.

5. Функция восстановления общего процесса 2-го порядка, если наработки Xj, X2

распределены по закону Вейбулла - Гнеденко

Пусть

F(t) = 1 - e V°J .(27)

Для нахождения функции восстановления воспользуемся представлением (3):

H (t) = F (t) + j HF2 (t - x)dF (x).

0

Используя представление функций восстановления HF2(t) (22), проведем вычисление

jHF2(t -x)dF1(x) = jZH)"-1-^-(t -x)f в^e VeJ dx

0A(2) R<*>(—]\" t

= Z (-1))1 „ Ar в-т Z^IT- f (x -1)e2Fxf-1 xf"dx = {x = t<?}

00A(2) R•

= ZZ( 1)e f( "+1)e f2r"! r (в r + 1) J (1 S) *^=

r=1 "=0ет( "+X2 r"! r f 2 r + 1);

/=1

t v